Tuile de Plateau

A l’encre de seiche, façon maritime comme certains chefs présentent cette tuile dentelle, mais qui évoque aussi une marée noire.

Joseph Plateau (1801-1873), physicien/mathématicien belge a décrit dans un livre l’arrangement des bulles de savon dans une mousse, analogue à celles que l’on trouve en 2 dimensions sur notre poêle. Il a décrit les angles formés entre les bords de Plateau (pâte entre les bulles), bien qu’aveugle assisté mais assisté. En effet pour la science, il avait trop intensément observé le soleil pour étudier la persistance rétinienne si bien qu’il en a perdu la vue.

Démonstration d’angle de 120° pour un triangle avec une analogie.

%1 analogie physique

%1 analogie physique

%Statique en Minimisation l'énergie

%Au minimum d'énergie, on est immobile, donc les 3 tensions de même norme sont:

Bords de Plateau

Energie du systême = tension superficielle x aire totale

%Comment relier 4 points par un plus court chemin

%1 croisement

%Pareil mais avec 2 croisements

%2 croisements mieux

%Optimum pour un carré

Aire des bulles minimale

Cas idéal: bulles identiques et fraction de pâte négligeable , mousse « sèche »

Arêtes ou bords de Plateau

Bulles polyédrique, bulles sphériques

Suivant la fraction de pâte contenu dans la mousse, on parle de mousse sèche comme ci-dessous au milieu, ou de mousse humide plus à gauche dans lesquelles les bulles sont rondes. Ici les bulles de vapeur ont disparu et il ne reste que les bords.

Si trois portions se rencontrent le long d’une arête, appelée « bord de Plateau », alors l’angle dièdre entre deux portions vaut arccos ⁡ ( − 1 / 2 ) = 120 {\displaystyle \arccos {(-1/2)}=120}° ;

Les configurations qui ne respectent pas les conditions de Plateau existent, mais sont instables

D’après la formule précédente, nous pouvons établir que :

• Si la bulle a plus de 6 côtés : la valeur précédente est négative, les faces seront donc
  convexes.
  -Si la bulle possède exactement 6 côtés : la courbure est nulle et les côtés de cette bulle
  seront droits.
  -Si la bulle a moins de 6 côtés : la valeur donnée devient positive et les faces seront
  concaves.
  Donc le nombre de côtés de la bulle a des conséquences sur sa forme, ce qui aura des
  répercussions sur sa durabilité comme nous allons le voir

Les forces de
tension superficielle ont tendance à faire contracter la bulle, par conséquent la pression à
l’intérieure de la bulle Pint va être supérieure à la pression extérieure Pext.
Une bulle tend, naturellement, à prendre la forme qui lui permet d’enfermer un volume de
gaz donné dans une surface d’aire minimale.
La pression à l’intérieur d’une bulle est légèrement supérieure à celle de l’extérieur. Elle est
donnée par la formule de Laplace :
Pint = Pext + 4𝛾 /R avec Pint
: pression à l’intérieur de la bulle en Pa.
Pext
: pression à l’extérieur de la bulle en Pa.
𝛾 : tension superficielle en N.m-1
R : rayon de la bulle en m.

On peut déjà remarquer que la différence de pression est d’autant plus importante que la
bulle est petite (R petit) ce qui va avoir des conséquences sur le vieillissement de la mousse
liquide.

Les bulles en surpression sont de forme convexe et le gaz qu’elles contiennent se diffuse
vers les bulles concaves en sous-pression.

La surface est donc minimiser lors de la fusion de deux bulles pour un même volume, la
tension superficielle tend donc à encourager le phénomène de coalescence des bulles.

sous vide pour plus grosses bulles

Structure initiale fournie par le
diagramme de Vorono¨ı.
(b)

Structure initiale fournie par le
diagramme de Voronoı. Structure a l’´equilibre. Fig. 1.19 – Exemple de simulation 2D de mousse non structur´ee, issu de [68] – La pression pi de chaque bulle, par la loi de Laplace : pi − pj = 2 γ rij ou rij est le rayon de courbure de l’interface s´eparant les bulles i et j

Pour aller plus loin

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tension_superficielle#:~:text=La%20tension%20superficielle%20est%20un,l’interface%20entre%20deux%20fluides.

3 approches de la même chose dans 3 sites de conférences qui continuent tous à produire de nouvelles conférences chaque année:

Pour aller plus loin
François Graner à l’Espace des Sciences de Rennes avec une approche recherche.

Pour aller plus loin
Florence Élias, Camille Gaulon et toujours François Graner dans les Conférences expérimentales de l’ESPCI avec une approche recherche. Malheureusement les conférences expérimentales ne sont pas systématiquement enregistrées et diffusées, mais elles sont toujours expérimentales ce qui en fait un grand attrait contrairement aux deux autres plus classiques habituellement (c’est-à-dire accompagnées d’un seul powerpoint).

Pour aller plus loin
Olivier Druet dans le cycle Un texte, un mathématicien dans une approche plus mathématique.

angles bulles 120°

formes minimales

http://wiki.scienceamusante.net/index.php/Triboluminescence

Recette
Mélanger en poids:
1 unité de farine
2 unité d’huile,
4 unité d’eau
et verser une tuile sur la poele chaude.

Conseil cuisine
Si les bulles ne sont pas assez grosses, ajouter un petit peu d’eau au mélange, ou chauffer plus fort. La cuisson dure quelques minutes et laisser cuire jusqu’à ce que ca ne boue plus. Utiliser une poële anti-dérapante. L’huile se sépare et décolle la tuile au fur et à mesure. Laisser refroidir sur du papier absorbant.
Plus facile à réaliser avec un colorant (encre de seiche, ..) car les différences de brunissement dû à la cuisson inhomogène ne se verront pas en cas de poêle pas bien plate ou pas assez épaisse.