Théorie des distributions

On peut projeter la fonction non dérivable sur des fonctions dérivables et travailler sur cette projection. Plus précisément sur ces projections car on peur projeter sur un ensemble de fonctions C-infini qui prend pour valeur zero aux bornes de l’ensemble d’étude. exemple d’une telle fonction : exp(1/(x-a)(x-b))

   

On dit qu’on fait le produit scalaire intégral(f.phy).

On arrive ainsi a avoir les informations sur la dérivée de la fonction, dans un sens plus général.

Ainsi la dérivée d’un échelon qui est une fonction continue par morceau non dérivable a pour dérivé un pic de Dirac noté delta. La dérivée seconde de Abs(x) = 2∂

Une fonction continue par morceau a pour dérivé la hauteur du saut aux points de discontinuité.

Voyons une analogie avec un cake convexe en 3D. On ne sait pas bien décrire sa forme, mais on veut en connaitre sa surface pour préparer un glaçage.

Mais on peut projeter notre gâteau dans différentes directions. Travailler sur ces projections plates en 2D et mesurant leur surface. Et avoir finalement les informations voulues sur le gâteau qui a une surface égale à 4 fois la moyenne des surfaces des projections.

(demo ci dessous en video).

Voici comment je pensais faire passer l’idée des distributions de Schwartz avec un gâteau pour un goûter… Ca tient un peu la route ?

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Quand on prépare un gâteau comme un quatre-quart, (comme celui-ci), le gâteau gonfle toujours à la cuisson, c’est à dire que le haut est bombé. En général avant de préparer une jolie décoration comme un glaçage, on découpe le haut pour le faire bien plat.

Aujourd’hui on va justement s’intéresser à un gâteau en 3D qui a une forme comme celui-ci, c’est-à-dire avec des endroits qui peuvent être plats, ou d’autres arrondis un peu n’importe comment (enfin en restant convexe pour être plus simple).

Le problème est qu’on veut préparer un glaçage et on veut pour cela connaitre la surface de ce gâteau précisément.

Une solution amusante est de projeter l’ombre du gâteau avec une lumière selon toutes les orientations possibles, et de mesurer l’aire de l’ombre à chaque fois. Puis de prendre la moyenne des ombres. En quadruplant cette valeur, on obtiendra la surface du gâteau qui nous était inaccessible. 

Remarque: Pour mesurer l’aide de l’ombre, il suffit de prendre une feuille à petits carreaux et de compter les carreaux dans l’ombre.

[ La démonstration que l’aire est le quadruple de celle projetée est simple et accessible dans la video suivante: https://youtu.be/ltLUadnCyi0

Cette démonstration repose sur les idées suivantes:

Tout est proportionnel dans l’expérience. C’est-à-dire que si on prend un gâteau 2 fois plus grand en surface, les ombres projetées seront 2 fois plus grandes par exemple.

La projection c’est un produit scalaire, c’est linéaire et ne dépendra pas de la forme projetée: la surface de l’ombre et la surface du gâteau sont proportionnels et la moyenne selon toutes les inclinaisons ne dépend pas de la forme.

Une sphère d’aire 4.pi.r^2 a une ombre de pi.r^2 soit 4 fois plus grande.

D’où le résultat. ]

On était incapable de mesurer la surface du gâteau au départ ni avec des formules car ce n’est ni une sphère ni un cube, ni avec une feuille à petit carreaux qui se serait déchirée en l’appliquant sur le gâteau, mais on a été capable à l’aide de mesure de l’ombre obtenu par un produit scalaire qui est la projection en 2D, d’avoir l’information qu’on voulait sur le gâteau à savoir sa surface.

On peut faire à peu près la même chose avec des fonctions non dérivables qu’on voudrait généraliser pour pouvoir en calculer une dérivée. C’est ce qu’a fait Laurent Schwartz. Admettons qu’il existe un objet qui est une généralisation de fonction qui corresponde à notre fonction non dérivable mais qu’on veut dériver. C’est comme notre gâteau en 3D mais qui nous est pas bien accessible car c’est pas facile d’avoir son aire.

Comme on l projette le gâteau avec une ampoule pour en avoir son ombre et faire une sorte de produit scalaire, on prend le produit scalaire de la dérivée de notre fonction généralisée en calculant l’intégrale du produit de la fonction f’ avec une autre fonction bien choisie (qui permet de tester et mesurer c’est-à-dire infiniment dérivable et qui s’annule aux bornes de l’interval considéré).

\int f'(x) \cdot g(x) \, dx qu’on peut noter <f’|g>

Ensuite on peut poursuivre les calculs (qui consistent juste à faire une intégration par partie et qui permet d’obtenir que <f’|g> = -<g’|f>). Et on obtient ainsi les propriétés sur la dérivée de notre objet qu’on appelle alors une distribution qui est la généralisation de la fonction non dérivable.

Si on prend comme fonction à dériver la fonction en marche d’escalier de Heavyside prenant pour valeur 0 pour x<0 et 1 pour x>0, la dérivée de sa fonction généralisée correspondante sera un pic de dirac, c’est à dire la fonction généralisée qui vaut 0 pour tout x, et +oo en 0, et on pourra dire que l’intégrale de cette dérivée vaut 1 autour de 0.

Remarque: On ne pourrait rien faire si l’on avait sous la main que la notion de simple fonction, et déjà un pic de Dirac, ça n’a pas de sens en terme de simple fonction car sa valeur +oo en 0 n’aurait pas de sens. La théorie des distribution en donne un sens avec une généralisation de fonction, et permet même les calculs.

En effet, comme cela repose sur un produit scalaire avec une somme (une intégrale) linéaire, cette méthode va justement bien se combiner avec les transformations de Fourrier que l’on connait pour passer en mode spectral et que l’on peut écrire aussi comme une somme/intégrale \int f(t) \, e^{-i \omega t} \, dt . Cette généralisation de fonction sera bien employable et utile dans les calculs pour les physiciens, et les équations différentielles..

Cette théorie des distributions permet de faire des calculs en mélangeant des échelles de temps très différent: En vrai quand on allume le courant, la tension n’augmente pas d’un coup à 1 comme la fonction de Heavyside, mais si on regarde de loin c’est ce qu’on voit et la lumière semble s’allumer instantanément.

On peut avoir des infos pertinentes sur un objet en travaillant sur la mesures de ses projections qui est elle accessible.