Empilement bien entassé
La preuve que le l’empilement de boules le plus compact est celui décrit par Kepler et que l’on retrouve sur les étals de marchés pour les oranges, a été donné par Thomas Hales près de 400 ans après la conjecture de Kepler. La démonstration utilise les cellules de Voronoï et triangles des Delaunay que l’on verra plus loin.
En effet, on pense qu’empiler des sphères est facile. Il n’en est rien et le problème est intéressant et la cuisine va nous y aider à comprendre ce qui se passe en 3D.
Commençons tout d’abord par jouer avec des billes et un pistolet à colle. C’est très agréable et satisfaisant de réaliser des assemblages avec la colle chaude car elle refroidit quasi instantanément au contact des billes froide, et il est aussi facile de défaire les assemblages réalisés si besoin, car la colle ne colle pas vraiment. (Il a existé bien un pistolet à fromage fondu, [rupture de stock : https://www.amazon.com/Fondoodler-Cheese-Build-Fiesta-Cheddar/dp/B01N4FEYK4/ref=cm_cr_arp_d_product_top?ie=UTF8])
Voici un empilement comme on pense souvent à tort être l’unique empilement possible compact :
Voici une autre présentation dans lesquels les boules sont aux sommets d’un cube et au milieu des faces. Mais est-ce le même empilement ?
Pour s’en rendre compte, plaçons ce deuxième empilement sur sa pointe. .Vous voyez le triangle de billes noires ci-dessus, il s’agit de les placer à l’horizontal.
Il s’agit de posaer ce cube sur le socle suivant. C’est très satisfaisant non seulement à réaliser comme on l’a déjà dit, mais aussi à poser le cub sur le socle, car on sent au toucher que les billes prennent bien place dans des creux, et c’est difficile à retranscrire dans un livre.
Voici notre cube à face centré posé sur le socle, avec un emboitage parfait :
On se rend alors compte qu’on aurait pu tourner le cube comme ceci, ce qui est un autre assemblable tout aussi parfait où l’on sent les billes prendre place dans leurs creux correspondant dans la structure :
Ce ne sont pas les mêmes empilements, mais ils sont aussi compacts l’un que l’autre. Pour bien se rendre compte de ce qui se passe, voyons comment on peut empiler deux plans de boules (qui s’emboitent parfaitement). Ci-dessous, deux montage différents (il ne s’agit pas d’une photo en 3d).
Par le choix des positionnements des couches successives, on pourrait même coder de l’information. Chaque maraicher pourrait avoir son empilement compact unique.
Mais revenons à notre cube à face centré. On aimerait couper pour mieux voir à l’intérieur de la structure. Pour cela, nous allons réaliser un Œuf en gelée.
Œuf en gelé
C’est un classique de la gastronomie française, que l’on va revisiter ici avec un empilement d’œufs de cailles.
Pour rendre les œufs plus ronds, juste après cuisson, les placer dans un moule en forme de boule creuse et les y écraser avec leur coquille. Une fois refroidi, éplucher les petites boules. Voici aussi les modèles des moules pour imprimante 3D pour les plus grands œufs de cailles, ou les plus petits.
Pour obtenir des œufs dans lequel le jaune est bien centré, il faut mélanger les œufs pendant la cuisson dans l’eau chaude. En effet, le jaune étant plus dense que le blanc d’oeuf, il a tendance à tomber au vers le bas et à se retrouver sur un bord de l’œuf.
Voici le résultat qui fera une parfaite entrée.
Proportion d’œuf et de gelé dans la recette
Cet empilement compact d’œufs boules rempli π/√18 ≈ 74% de l’espace.
A comparer avec en 2 dimensions dans un plan, un empilement de disques qui remplit π/(2√3) ≈ 91% de l’espace.
Avec des boules en 4 dimensions (hypersphères), ou plus encore, le taux de remplissage des œufs sera encore plus faible et tendra même vers 0 avec le croissant de dimensions.
Les empilements optimaux ne sont pas forcément réguliers. Leurs découvertes en dimension 8 et 24 a valu la médaille Fields à Maryna Viazovska.
Les grandes dimensions ont de nombreuses applications dans l’analyse de données par exemple ed type intelligence artificielle.