C’est quoi un tore plat ?
Un tore est une surface ressemblant à une bouée de sauvetage, mais un tore plat est un objet mathématique abstrait. On peut le comprendre ainsi :
- Imagine un carré ([0,1]×[0,1][0,1] \times [0,1][0,1]×[0,1]).
- Colle les bords opposés : les côtés gauche et droit, et les côtés haut et bas.
Cela donne une surface où : - Si tu sors par un bord, tu réapparais de l’autre côté, comme dans certains jeux vidéo.
Formellement, un tore plat est défini comme l’espace quotient :T2=R2/Z2,\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2,T2=R2/Z2,
où on identifie les points (x,y)(x, y)(x,y) et (x+m,y+n)(x + m, y + n)(x+m,y+n) pour tous m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}m,n∈Z.
2. Pourquoi ne peut-on pas plier un tore plat en 3D directement ?
Un tore plat est mathématiquement « plat », c’est-à-dire qu’il a une courbure nulle partout.
- Mais dans notre monde en 3D, les tores visibles (comme une bouée) ne sont pas plats : ils sont courbés (comme une montagne ou une vallée).
Sans avoir besoin de comprendre la notion de courbure, imaginons un tore plat sur une feuille de papier ou un écran de jeu video. Ok. mais si on veut replier la feuiller sans faire de pli pour rapprocher les bouts et rejoindre les points qui se correspondent sur les bords. On forme un cylindre pour rapprocher un bord de l’autre bord opposé. Mais impossible de rapprocher le deuxième couple de bords sans faire des plis marqués qui formeraient une discontinuité dans la dérivé de la surface.
La grande difficulté est donc que plonger un tore plat dans l’espace 3D tout en respectant sa platitude est très compliqué. Intuitivement :
- Pour qu’un objet plat soit en 3D, il doit se plier, et cela crée de la courbure, ce qui est incompatible avec une courbure nulle.
C’est pourquoi pendant longtemps, on pensait qu’un tore plat ne pouvait pas être réalisé sans faire des plis ou des cassures.
En 2012, deux mathématiciens français, Vincent Borrelli et son équipe, ont montré que c’est possible de plonger un tore plat dans l’espace 3D, mais d’une manière très particulière.
- Ils ont utilisé une idée appelée un plongement de Nash-Kuiper, basée sur un théorème célèbre.
- Ce théorème dit qu’une surface avec une géométrie donnée peut être plongée dans un espace de dimension supérieure, même si ça semble impossible intuitivement, à condition d’accepter des ondulations infiniment petites.
Pour réaliser ce plongement, ils ont produit un tore avec des ondulations très fines, tellement fines qu’elles ressemblent à une fractale.
Le résultat de l’équipe française est fascinant, car le tore plat qu’ils ont construit a des propriétés qui le rapprochent des fractales :
- Une fractale est un objet mathématique qui a des détails à toutes les échelles. Si tu zoomes, tu continues de voir des motifs, quel que soit le niveau de grossissement.
- Le tore plat plongé a une structure lisse mais ondulée à l’infini. Ces ondulations deviennent de plus en plus petites et rapprochées, formant une sorte de fractale lisse, sans cassures.
les ordinateurs ont joué un rôle essentiel dans la visualisation du tore plat plongé en 3D par l’équipe de Vincent Borrelli et ses collaborateurs en 2012.
Les équations qui décrivent ces ondulations sont extrêmement complexes. Les chercheurs doivent résoudre des systèmes d’équations impliquant la géométrie de la surface et les contraintes de courbure. Une fois les calculs effectués, il faut transformer ces données mathématiques en images pour que les humains puissent les comprendre et analyser. L’équipe a utilisé des ordinateurs pour approximer les ondulations de la surface. Même si elles sont infinies théoriquement, on peut en calculer une version simplifiée avec un grand nombre d’ondulations visibles. Ils ont produit une image appelée « Tore de Nash », qui montre un tore plat plongé dans l’espace 3D. Ce tore ressemble à une bouée (le tore classique), mais avec des ondulations régulières et fines. Ces ondulations sont l’astuce qui permet au tore de conserver une courbure nulle tout en étant plongé dans l’espace.
Cuisiner un tore plat c’est donc impossible avec son infinité d’ondulation, alors on va se contenter d’un tore plat fripé en 3D. C’est à dire qu’il a des plis. Autrement dit que la surface n’est pas infiniment lisse.
pour aller plus loin: documentaire.
Recette
