{"id":1271,"date":"2023-11-21T00:10:24","date_gmt":"2023-11-20T23:10:24","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=1271"},"modified":"2024-08-07T20:55:25","modified_gmt":"2024-08-07T18:55:25","slug":"fibonacci-spirale-fractale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2023\/11\/21\/fibonacci-spirale-fractale\/","title":{"rendered":"Spirale de Fibonacci"},"content":{"rendered":"\n

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Le tournesol<\/h2>\n\n\n\n

Les graines de tournesol forment des spirales sur la fleur. 55<\/strong> et 89<\/strong> tr\u00e8s pr\u00e9cis\u00e9ment. Ce sont des nombres de la suite de Fibonacci.<\/p>\n\n\n\n

 1\n 1<\/strong>\n 1 +  1 =  2<\/strong>\n      1 +  2 =  3<\/strong>\n           2 +  3 = 5<\/strong>\n                3 + 5 =  8<\/strong>\n                    5 +  8 = 13<\/strong>\n                         8 + 13 = 21\n                             13 + 21 = 34<\/strong>\n                                  21 + 34 = 55<\/strong>\n                                       34 + 55 = 89<\/strong><\/code><\/pre>\n\n\n\n
En retirant les graines de tournesol une \u00e0 une, on arrive bien \u00e0 compter les spirales.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Lors de sa croissance chaque graine est positionn\u00e9e avec un angle constant par rapport \u00e0 la pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
% Angle = 137,5\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Si on prend n’importe quelle autre mesure d’angle, on va avoir de la place perdue:<\/p>\n\n\n\n
% Angle = 130\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Si \"\alpha\" est un nombre rationnel, les graines se retouveront align\u00e9es ce qui n’est pas optimal car les feuilles se feront de l’ombre, de la place sera perdu etc. Quel est le nombre irrationnel le plus \u00e9loign\u00e9 des nombres rationnels \"p/q\" de taille finie (c’est-\u00e0-dire avec p et q petits) ?<\/p>\n\n\n\n
Le nombre d’or, souvent not\u00e9 \"\phi\", est d\u00e9fini comme<\/p>\n\n\n\n
 
   <\/span>   <\/span>\"\[ \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. \]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n
\"\phi\" est solution de l’\u00e9quation : \"\phi = 1 + \frac{1}{\phi}\"<\/p>\n\n\n\n
   <\/span>   <\/span>\"\[ \phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\phi}}. \]\"<\/p><\/p>\n\n\n\n
ou encore<\/p>\n\n\n\n
\"\phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\phi}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}\"<\/p>\n\n\n\n
Sous la forme suivante, on comprend bien que les entiers \"a_i\" doivent \u00eatre aussi petits que possible pour que l’erreur d’approximation soit la plus grande et donc que notre nombre soit aussi loin que possible des rationnels.<\/p>\n\n\n\n
\"\phi = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2+\frac{1}a_3}}}\"<\/p>\n\n\n\n
Ce qui arrive pour \"a_0=1\", \"a_1=1\", \"a_2=1\" … et on tombe donc sur le nombre d’or.<\/p>\n\n\n\n

Que ce soit les tournesols, les chou-fleurs, des Choux Romanesco, de sont toutes des fleurs qui sont rest\u00e9es coll\u00e9es et qui ne se sont pas \u00e9cart\u00e9es lors de la croissance des tiges. Il en est de m\u00eame avec les artichauts qui savent compter jusqu’\u00e0 ?<\/p>\n\n\n\n
Pour l’anecdote, si vous n’avez pas de pince \u00e0 \u00e9piler et que voulez juste r\u00e9cup\u00e9rer les graines de tournesol vite fait, voici la m\u00e9thode:<\/p>\n\n\n\n