{"id":1392,"date":"2023-11-27T11:19:46","date_gmt":"2023-11-27T10:19:46","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=1392"},"modified":"2023-12-05T23:14:42","modified_gmt":"2023-12-05T22:14:42","slug":"un-perimetre-gourmand-pour-une-courbure-florale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2023\/11\/27\/un-perimetre-gourmand-pour-une-courbure-florale\/","title":{"rendered":"Un p\u00e9rim\u00e8tre gourmand pour une courbure florale"},"content":{"rendered":"\n
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Quand on tourne la lame, elle tourne et se d\u00e9place plus vite sur le bord qu’au centre. Donc plus d’\u00e9nergie est apport\u00e9e sur le bord \"E=<code>\frac{1}{2} m (r \dot{\theta})^2</code>\" croissant avec le carr\u00e9 de r. La tranche de fromage s’y allonge plus qu’au centre. Le p\u00e9rim\u00e8tre normalement de \"2.\pi.r\", est sup\u00e9rieur. Cela forme une fleur.<\/p>\n\n\n\n

Dimension fractale d’une tranche de fromage, compris entre 1 et 2.<\/p>\n\n\n\n

Mot cl\u00e9: Flambage. et Morphogen\u00e8se et auto-organisation: tiges, plaques, films et gouttes.<\/p>\n\n\n\n

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La tranche de fromage \u00e0 pour dimension: 2,5849625.. <\/h2>\n\n\n\n

A chaque \u00e9tape ci-dessous on utilise un segments de longueur de la moiti\u00e9 du pr\u00e9c\u00e9dent. Et il faut 3 segments deux fois plus courts pour mesurer le tour de la tranche, l\u00e0 o\u00f9 on s’attendait \u00e0 doubler le nombre de segments quand on en divise la longueur par deux. Et on peut it\u00e9rer 6 fois le proc\u00e9d\u00e9 ! A chaque \u00e9tape, la courbe est mieux approch\u00e9e avec des segments deux fois plus courts, mais pourtant il y a toujours des bouts qui d\u00e9passent.<\/p>\n\n\n\n

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Pour un segment de longueur 1 unit\u00e9. Si on le mesure avec des segments de longueur 2 fois plus petits, il faudra 2 segements pour mesurer le segment initial.<\/p>\n\n\n\n

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Pour un carr\u00e9 en 2 dimensions, si on prend un carr\u00e9 2 fois plus grand que le carr\u00e9 unit\u00e9, il faudra \"4=2^2\" petits carr\u00e9s unit\u00e9s pour mesurer le grand carr\u00e9 de cot\u00e9 2.<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Pour un cube de cot\u00e9 2, il faut cette fois 8 petits cubes unit\u00e9s pour le mesurer.<\/p>\n\n\n\n
\"8=2^3\"<\/p>\n\n\n\n
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A chaque fois il pour un objet 2 fois plus grand, il faut \"2^dimension\".<\/p>\n\n\n\n
Mais pour le tour de notre tranche de fromage, il faut 3 fois plus de segments  quand on en divise la taille par deux. <\/p>\n\n\n\n
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au lieu de \"2^1=1\" , \"2^2=4\" , \"2^3=8\" le facteur est de 3. Mais 3 c’est \"2^diimension\" on calcule: \"2^d=3\" en prenant le logarithme \"log(2^d)=log(3)\" soit avec la propri\u00e9t\u00e9 du log: \"d*log(2)=log(3)\" et finalement  \"d = \frac{\log(3)}{\log(2)} = 1.5849625\ldots\"<\/p>\n\n\n\n
Le pourtour de la transche de fromage n’est pas de dimension 1 mais de dimension 1,58<\/strong> environ. Et la tranche compl\u00e8te avec sa profondeur en plus apporte 1 dimension suppl\u00e9mentaire, soit finalement, l\u00e0 o\u00f9 on croyait avoir une tranche de fromage de 2 dimension, elle a pour dimension 2,58<\/strong>…. !<\/p>\n\n\n\n
D’ailleurs on peut remarquer en effet q’une seule coordonn\u00e9e ne suffit pas pour positionner un point sur le pourtour de la tranche de fromage. Par exemple si on indique un point \u00e0 3cm de l’origine sur le pourtour, on ne trouvera pas le m\u00eame point suivant l’unit\u00e9 utilis\u00e9e. Et plus l’unit\u00e9 utilis\u00e9e sera petite, plus le point se trouvera pr\u00e8s de l’origine.<\/p>\n\n\n\n
Position d’un point \u00e0 la distance 2 sur un cercle, suivant l’\u00e9chelle utilis\u00e9e:<\/p>\n\n\n\n
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Le point converge tr\u00e8s vite vers le point \u00e0 la distance 2 en noir sur la courbe. Mais sur le tour de tranche de fromage:<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Plus on prend une petite \u00e9chelle, plus on se rapproche de 0. Une coordonn\u00e9e ne suffit plus car on est \u00e0 plus que une dimension. Presque \u00e0 2 dimensions.<\/p>\n\n\n\n
Voici une alternative locale fran\u00e7aise \u00e0 la T\u00eate de Moine<\/em> suisse et qui fonctionne tout aussi bien pour faire de belles tranches (photos des tranches ci-dessus).<\/p>\n\n\n\n
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Salade fris\u00e9e<\/h2>\n\n\n\n