{"id":2192,"date":"2023-12-04T23:02:18","date_gmt":"2023-12-04T22:02:18","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=2192"},"modified":"2024-06-19T11:20:51","modified_gmt":"2024-06-19T09:20:51","slug":"lequation-de-la-chaleur-pour-une-glace-au-four","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2023\/12\/04\/lequation-de-la-chaleur-pour-une-glace-au-four\/","title":{"rendered":"L’\u00e9quation de la chaleur pour une glace au four"},"content":{"rendered":"\n

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\"\"<\/figure>\n\n\n\n

L’omelette norv\u00e9gienne a \u00e9t\u00e9 invent\u00e9e suite \u00e0 la mod\u00e9lisation de la chaleur et aux mesures d’isolation du blanc d’oeuf en neige, pour faire un g\u00e2teau moderne issu de la science et de la technologie.<\/p>\n\n\n\n

Un glace entour\u00e9e de meringue italienne est enfourn\u00e9e pour cuire et faire colorer la meringue. Pourtant la glace \u00e0 l’int\u00e9rieur reste glac\u00e9e.<\/p>\n\n\n\n

Sur l’analogie math\u00e9matique Chaleur-Electricit\u00e9 … mais qui a ses limites en physique<\/h2>\n\n\n\n

On connait bien U=RI en \u00e9lectricit\u00e9, mais on connait moins souvent l’\u00e9quation de la chaleur qui l’a historiquement pr\u00e9c\u00e9d\u00e9 dont on faite le bicentenaire en 2023. Ohm a remarqu\u00e9 l’analogie en 1827 avec entre les pr\u00e9mices de l’\u00e9lectricit\u00e9 et la th\u00e9orie de la chaleur, et croyant seul \u00e0 cette analogie (contrairement \u00e0 Laplace par exemple) cela le conduisit \u00e0 \u00e9tablir la loi d’Ohm.<\/p>\n\n\n\n

Dans sa th\u00e9orie analytique de la chaleur, Fourier avait \u00e9tabli les s\u00e9ries infinies de Fourier et v\u00e9rifi\u00e9 leur convergence. Mais Ohm physicien et non math\u00e9maticien a repris l’analogie des s\u00e9ries de Fourier mais en les traitant juste comme des polyn\u00f4mes finis.<\/p>\n\n\n\n

Maxwell \u00e9crit en 1873 Electricit\u00e9 et Magn\u00e9tisme:<\/p>\n\n\n\n

\n

En \u00e9lectrostatique, il existe entre le potentiel et l\u2019\u00e9lectricit\u00e9 le m\u00eame rapport qu\u2019il y a en Hydrostatique entre la pression et le fluide, et en Ther- modynamique entre la temp\u00e9rature et la chaleur. L\u2019\u00e9lectricit\u00e9, le fluide, la chaleur tendent \u00e0 passer d\u2019un endroit \u00e0 un autre, si le potentiel, la pression, la temp\u00e9rature sont plus \u00e9lev\u00e9s au premier point qu\u2019au second. Un fluide est certainement une substance, et certainement aussi, la chaleur n\u2019est pas une substance : donc, si nous pouvons tirer profit d\u2019analogies de ce genre, pour nous faire une id\u00e9e nette des relations qui existent entre les quanti- t\u00e9s \u00e9lectriques, nous devons bien prendre garde que l\u2019une ou l\u2019autre de ces analogies ne nous induise \u00e0 croire que l\u2019\u00e9lectricit\u00e9 est une substance comme l\u2019eau, ou un \u00e9tat de mouvement comme la chaleur. […]<\/p>\n\n\n\n

L\u2019analogie entre la th\u00e9orie de la conduction de l\u2019\u00e9lectricit\u00e9 et la th\u00e9orie de la conduction de la chaleur est, \u00e0 premi\u00e8re vue, presque compl\u00e8te (*). Si nous prenons deux syst\u00e8mes g\u00e9om\u00e9triquement semblables, et tels que la conductibilit\u00e9 calorifique d\u2019une partie du premier soit proportionnelle \u00e0 la conductibilit\u00e9 \u00e9lectrique de la partie correspondante du second, et si l\u2019on fait la temp\u00e9rature de chaque partie du premier proportionnelle au potentiel \u00e9lectrique de la m\u00eame partie du second, le flux de chaleur \u00e0 travers une aire quelconque prise dans le premier sera proportionnel au flux d\u2019\u00e9lectricit\u00e9 \u00e0 \u00c9volution des analogies. L’exemple de l’analogie chaleur–\u00e9lectricit\u00e9 travers l\u2019aire correspondante dans le second<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

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\n

Electricit\u00e9<\/h2>\n\n\n\n

\u2206U: diff\u00e9rentiel de potentiels U \u00e9lectrique<\/p>\n\n\n\n

I: Intensit\u00e9 (Flux de charges \u00e9lectriques \u00e0 un instant donn\u00e9<\/p>\n\n\n\n

R: R\u00e9sistance \u00e9lectrique<\/p>\n\n\n\n

c: conductibilit\u00e9 \u00e9lectrique<\/p>\n\n\n\n

Loi d’Ohm: \"U=V_2-V_1=RI\"<\/p>\n\n\n\n

\"R = \frac{L}{\rho \cdot S}\" <\/p>\n\n\n\n

o\u00f9 L est l’\u00e9paisseur du mat\u00e9riau, S sa surface et \"\rho\" la r\u00e9sistivit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n<\/div>\n\n\n\n
\n
Chaleur<\/h2>\n\n\n\n
\u2206T: diff\u00e9rence de temp\u00e9ratures T<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
\"\phi\": Flux de chaleur, ou flux thermique \u00e0 un instant donn\u00e9<\/p>\n\n\n\n
R: r\u00e9sistance thermique<\/p>\n\n\n\n
c: conductibilit\u00e9 calorifique<\/p>\n\n\n\n
Loi de Fourier: \"∆T=T_2-T_1=R\phi\"<\/p>\n\n\n\n
\"R = \frac{L}{\lambda \cdot S}\"<\/p>\n\n\n\n
o\u00f9 L est l’\u00e9paisseur du mat\u00e9riau, S sa surface et \"\lambda\" la conductivit\u00e9 thermique.<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n
Les r\u00e9sistances se combinent en s\u00e9rie ou en parall\u00e8le de la m\u00eame fa\u00e7on.
<\/p>\n\n\n\n
En S\u00e9rie on a :\n\"R_{\text{équivalent} = R_1 + R_2\"\n\n
\"Rendered<\/p>\n\nEn parall\u00e8le on a:\n\"\frac{1}{{R_{\text{équivalent}}}} = \frac{1}{{R_1}} + \frac{1}{{R_2}}\"\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Mais l’analogie a ses imites:<\/p>\n\n\n\n
(*) Maxwell ajoute:<\/p>\n\n\n\n
\n
La diff\u00e9rence entre les ph\u00e9nom\u00e8nes consiste dans ce fait : que les corps sont susceptibles d\u2019absorber la chaleur et de l\u2019\u00e9mettre, tandis qu\u2019ils n\u2019ont point la propri\u00e9t\u00e9 correspondante pour l\u2019\u00e9lectricit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n
On ne peut \u00e9chauffer un corps sans lui fournir une certaine quantit\u00e9 de chaleur d\u00e9pendant de sa masse et de sa chaleur sp\u00e9cifique; le potentiel \u00e9lectrique, au contraire, peut \u00eatre \u00e9lev\u00e9 \u00e0 un degr\u00e9 quelconque, de la fa\u00e7on que nous avons d\u00e9j\u00e0 d\u00e9crite, sans communiquer au corps aucune charge d\u2019\u00e9lectricit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n
Supposons encore un corps pr\u00e9alablement chauff\u00e9 et plac\u00e9 \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un vase clos. L\u2019ext\u00e9rieur du vase sera d\u2019abord \u00e0 la temp\u00e9rature des objets environnants, s\u2019\u00e9chauffera bient\u00f4t et restera chaud tant que la chaleur du corps int\u00e9rieur n\u2019aura pas fini de s\u2019\u00e9chapper.<\/p>\n\n\n\n
Il est impossible de faire l\u2019exp\u00e9rience \u00e9lectrique correspondante. Il est im- possible d\u2019\u00e9lectriser un corps et de le placer dans un vase creux, de fa\u00e7on que l\u2019ext\u00e9rieur du vase ne montre d\u2019abord aucune trace d\u2019\u00e9lectrisation et devienne ensuite \u00e9lectris\u00e9. Ce sont des ph\u00e9nom\u00e8nes de ce genre que Faraday a recherch\u00e9s en vain sous le nom de charge absolue d\u2019\u00e9lectricit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n
La chaleur peut \u00eatre cach\u00e9e \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur d\u2019un corps et n\u2019avoir point d\u2019action au dehors : mais il est impossible d\u2019isoler une quantit\u00e9 d\u2019\u00e9lectricit\u00e9, de l\u2019emp\u00eacher d\u2019\u00eatre constamment reli\u00e9e par induction \u00e0 une quantit\u00e9 d\u2019\u00e9lectricit\u00e9 contraire.<\/p>\n\n\n\n
Il n\u2019y a donc rien dans les ph\u00e9nom\u00e8nes \u00e9lectriques qui corresponde \u00e0 la capacit\u00e9 calorifique.<\/strong> C\u2019est ce qui r\u00e9sulte imm\u00e9diatement de l\u2019hypoth\u00e8se suivie dans cet ouvrage, que l\u2019\u00e9lectricit\u00e9 est soumise \u00e0 la m\u00eame condition de continuit\u00e9 que les fluides incompressibles. Il est donc impossible de donner \u00e0 un corps une charge effective d\u2019\u00e9lectricit\u00e9, en for\u00e7ant une quantit\u00e9<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
Heaviside \u00e9crit aussi que l’analogie math\u00e9matique a en effet permis \u00e0 la th\u00e9orie de l’\u00e9lectricit\u00e9 de progresser, mais ensuite les th\u00e9ories ont suffisamment muri pour diverger:<\/p>\n\n\n\n
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    \n
  • \u2013  les deux th\u00e9ories ne sont pas strictement comparables. L\u2019analogie n\u00e9gative reprend le pas car il existe des diff\u00e9rences importantes comme l\u2019auto-induction (c\u00e2bles t\u00e9l\u00e9phoniques), l\u2019isolation \u00e9lectrique est possible alors que l\u2019isolation thermique ne l\u2019est pas. . .<\/li>\n\n\n\n
  • \u2013  les deux th\u00e9ories peuvent \u00eatre autonomes et consacr\u00e9es \u00e0 la r\u00e9solution de probl\u00e8mes sp\u00e9cifiques. Quand la th\u00e9orie a suffisamment progress\u00e9, elle prend ses distances, son ind\u00e9pendance par rapport \u00e0 la th\u00e9orie m\u00e8re dans l\u2019analogie.<\/strong> On doit les utiliser, \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur de leur domaine de validit\u00e9 respectif, \u00e0 la r\u00e9solution de probl\u00e8mes sp\u00e9cifiques.<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
    Feynman:<\/p>\n\n\n\n
    \n
    On peut aussi r\u00e9soudre les probl\u00e8mes aux limites par des mesures sur des analogues physiques. L\u2019\u00e9quation de Laplace se pr\u00e9sente dans de nombreux cas physiques diff\u00e9rents : dans la propagation de la chaleur en r\u00e9gime permanent, dans l\u2019\u00e9coulement irrotationnel d\u2019un fluide, dans l\u2019\u00e9coulement d\u2019un fluide dans un milieu \u00e9tendu, et dans la d\u00e9formation d\u2019une membrane \u00e9lastique. Il est fr\u00e9quemment possible de r\u00e9aliser un mod\u00e8le physique qui est analogue au probl\u00e8me \u00e9lectrique que nous voulons r\u00e9soudre. On peut d\u00e9- terminer la solution du probl\u00e8me auquel on s\u2019int\u00e9resse en mesurant une quantit\u00e9 analogue convenable sur le mod\u00e8le.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
    \"\" Pour aller plus loin<\/b>
    – Voici un exemple d’analogie \u00e9lectrique amusante avec des chaines et des rotations.
    \"\"<\/div>\n\n\n\n
    \n\n\n\n
    Omelette Norv\u00e9gienne<\/h2>\n\n\n\n
    \"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
    \"\"<\/figure>\n\n\n\n
    <\/p>\n\n\n\n
    <\/p>\n\n\n\n
    \"\" Conseil cuisine<\/b>
    Attention aux glaces du commerce, elles sont d\u00e9natur\u00e9es pour fondre rapidement et rester molle en pouvant \u00eatre consomm\u00e9es d\u00e8s que sortie du cong\u00e9lateur (contenant air et sirop de glucose). Prendre plut\u00f4t une bonne vieille glace \u00e0 la vanille traditionnelle. <\/div>\n\n\n\n
    La meringue italienne est constitu\u00e9e d’oeuf battu auquel on ajoute du sucre bouilli (5 blancs pour 200g de sucre). Le r\u00e9sultat est une mousse avec des bulles d’air emprisonn\u00e9es dans de l’eau et prot\u00e9ines et sucre. Les bulles ont pour diam\u00e8tre de 0.01mm \u00e0 0.1mm e ne sont pas toutes rondes:<\/p>\n\n\n\n
    \"\"<\/figure>\n\n\n\n
    Mais \u00e0 quelle temp\u00e9rature est-il mieux de manger une glace ?<\/p>\n\n\n\n
    On apprend dans le livre \u00ab Mes<\/p>\n\n\n\n
    copains, les maths et moi \u00bb de Edward van de Vendel que:<\/p>\n\n\n\n
    \n
    \u00ab nos glaces sont servies \u00e0 une temp\u00e9rature de 12 degr\u00e9s au dessous de z\u00e9ro, mais que la glace am\u00e9ricaine est sera servie \u00e0 11 degr\u00e9s\u2026 au dessus de z\u00e9ro<\/em>. \u00bb <\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
     et que les italiens les servent \u00e0 5 degr\u00e9s au dessous de z\u00e9ro car elles leur glaces contiennent moins de gras et moins d\u2019air. 
    On l\u2019aura compris, les am\u00e9ricains utilisent les degr\u00e9s Fahrenheit.<\/p>\n\n\n\n
    \"\"<\/figure>\n\n\n\n
    \n\n\n\n
    Bibliographie : <\/p>\n\n\n\n
    \"\" Pour aller plus loin<\/b>
    \nSur analogie Chaleur-Electricit\u00e9: \u00c9volution des analogies – L\u2019exemple de l\u2019analogie chaleur\u2013\u00e9lectricit\u00e9, Etienne Bolmont LPHS
    \n