{"id":2510,"date":"2023-12-28T16:33:15","date_gmt":"2023-12-28T15:33:15","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=2510"},"modified":"2024-02-06T17:58:00","modified_gmt":"2024-02-06T16:58:00","slug":"eponge-lactee-et-spaghettis-dhugo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2023\/12\/28\/eponge-lactee-et-spaghettis-dhugo\/","title":{"rendered":"Eponge lact\u00e9e"},"content":{"rendered":"\n

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Notre p\u00e2te contient de l’eau et de la levure chimique ou boulang\u00e8re. <\/p>\n\n\n\n

Au four, l’eau s’\u00e9vapore (il fait plus de 100\u00b0C) et cr\u00e9e des bulles de gaz dans la p\u00e2te. <\/p>\n\n\n\n

La levure de boulangerie est faote de petits organismes vivants qui mangent le sucre de la p\u00e2te et fait produit comme d\u00e9chet du \"CO2_\", ce qui forme aussi des bulles. <\/p>\n\n\n\n

La levure chimique est du Carbonate de Calcium \"CaCO_3\" en poudre qui produit aussi du \"CO_2\" en milieu l\u00e9g\u00e8rement acide et donc des bulles dans la p\u00e2te. <\/p>\n\n\n\n

Voici notre p\u00e2te au d\u00e9but avec des petites bulles. Disons qu’il y ait 33% de bulles un peu plus grosses que les autres al\u00e9atoirement r\u00e9parties, ainsi:<\/p>\n\n\n\n

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Les bulles grossissent au cours de la cuisson puis le g\u00e2teau est compl\u00e8tement cuit et dur et les bulles n’\u00e9voluent plus. Voici le r\u00e9sultat:<\/p>\n\n\n\n
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On remarque qu’il s’est form\u00e9e des bulles g\u00e9antes de taille caract\u00e9ristique 4.<\/p>\n\n\n\n
Ce g\u00e2teau reste imperm\u00e9able car il n’y a pas de communication des bulles \u00e0 grande \u00e9chelle.<\/p>\n\n\n\n
Reprenons notre recette en y mettant plus de levure. Cette fois le temps d’enfourner le g\u00e2teau, non plus 33% des bulles sont d\u00e9j\u00e0 de taille moyenne, mais 50%.<\/p>\n\n\n\n
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Puis elles grossissent jusqu’\u00e0 la fin de la cuisson:<\/p>\n\n\n\n
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Cette fois, il y a une bulle g\u00e9ante qui communique dans tout le g\u00e2teau.<\/p>\n\n\n\n
On dit qu’il y a eu percolation<\/em>. Notre g\u00e2teau n’est plus imperm\u00e9able et le lait peut s’imbiber \u00e0 la place des bulles dans tout le g\u00e2teau.<\/p>\n\n\n\n
Quelle quantit\u00e9 de bulles permet la percolation ?<\/h2>\n\n\n\n
Quand a lieu la percolation on a une bulle g\u00e9ante aussi grosse que le g\u00e2teau. Avant que cela n’arrive, quand on a pas assez de bulles, \u00e0 la fin de la cuisson, on a des grosses bulles, de taille 4 par exemple sur notre premier exemple.<\/p>\n\n\n\n
Changeons d’\u00e9chelle, et regardons notre g\u00e2teau de plus loin. <\/p>\n\n\n\n
Dans notre premier cas (avec 33% de grosses bulles), on peut regarder de 2 fois plus loin, et nos grosses bulles de taille 4 apparaitront comme grosses bulles de taille 2. Si on regarde de 4 fois plus loin, les plus grosses bulles de taille 4 apparaitront comme des grosses bulles de taille 1. Mais on ne peut pas regarder de plus loin, sans quoi on ne verra plus de bulles du tout.<\/p>\n\n\n\n
Dans notre second cas (avec 50% de grosses bulles), c’est diff\u00e9rent. D’aussi loin qu’on regardera le g\u00e2teau, on verra toujours une grosse bulle g\u00e9ante aussi grosse que le g\u00e2teau tout entier. Au seuil de percolation, il n’y a plus de taille caract\u00e9ristique. Le g\u00e2teau est auto-similaire \u00e0 toute \u00e9chelle.<\/p>\n\n\n\n
Fixer une \u00e9chelle, on appelle cela la normalisation. C’est \u00e0 dire qu’on pose une norme, un longueur caract\u00e9ristique, une unit\u00e9. Si on change de norme, en changeant d’\u00e9chelle c’est la renormalisation. Mais si on peut changer de norme tout en laissant le probl\u00e8me est inchang\u00e9 pour la caract\u00e9ristique observ\u00e9e, alors on peut dit qu’on peut renormaliser et qu’on a un invariant par renormalisation.<\/p>\n\n\n\n
Mod\u00e9lisation de la renormalisation<\/h2>\n\n\n\n
Disons que chaque bulle a une probabilit\u00e9 \"p\" d’\u00eatre petite et \"(1-p)\" d’\u00eatre grosse au d\u00e9but.<\/p>\n\n\n\n
Voici les 8 cas de bulles \u00e0 proximit\u00e9 suivant que chaque bulle peut \u00eatre petite ou grosse, la probabilit\u00e9 de l’arrangement, et par quoi on peut remplacer l’arrangement si on s’\u00e9loigne par renormalisation.<\/p>\n\n\n\n
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En regroupant et en ajoutant les probabilit\u00e9 ci-dessus,  la probabilit\u00e9 d’avoir une petite bulle qui ne connecte pas est de \"p^3+3.p^2.(1-p)\" .  Et ce doit \u00eatre la probabilit\u00e9 \"p=p_c\" d’avoir une petite bulle au d\u00e9part lorsqu’on est au seuil avec une composante g\u00e9ante car on peut renormaliser sans rien changer. D’o\u00f9 \u00e0 la probabilit\u00e9 critique de seuil:<\/p>\n\n\n\n
\"p_c=p_c^3+3.p_c^2.(1-p_c)    =>    p_c=<code>1/2</code>\"<\/p>\n\n\n\n
On a donc un seuil \u00e0 \"<code>1/2</code>\" nous indiquant combien de bulles on doit avoir pour que notre g\u00e2teau soit spongieux. En dessous de ce seuil il sera imperm\u00e9able, au dessus, il s’imbibera car le lait remplira la bulle g\u00e9ante. <\/p>\n\n\n\n
Simulations<\/h2>\n\n\n\n
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Simulation pour montrer le seuil brutal tr\u00e8s pr\u00e9cis de 50% dans ce mod\u00e8le. Recharger la page pour de nouveaux tirage au sort.<\/p>\n\n\n\n
40%<\/strong> des bulles sont grosses. On a pas de percolation; le g\u00e2teau est imperm\u00e9able; les plus grosses bulles ne r\u00e9unissent qu’une 20aine de bulles, la longueur de corr\u00e9lation est de 20. Au del\u00e0 de la distance de corr\u00e9lation, du lait dans remplissant une bulle n’impliquera pas du lait ailleurs. :<\/p>\n\n\n\n
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