{"id":2738,"date":"2023-12-28T16:22:30","date_gmt":"2023-12-28T15:22:30","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=2738"},"modified":"2024-06-19T11:18:44","modified_gmt":"2024-06-19T09:18:44","slug":"les-spaghettis-dhugo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2023\/12\/28\/les-spaghettis-dhugo\/","title":{"rendered":"Les spaghettis d’Hugo"},"content":{"rendered":"\n

ou<\/p>\n\n\n\n

Quelle est la longueur d’un spaghetto ?<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

On raconte que c’est le chimiste prix Nobel Paul Flory qui voulait savoir quelle \u00e9tait l’\u00e9longation d’un polym\u00e8re (longue mol\u00e9cule comme un spaghetti) en 1948. Comme si avant on ne s’\u00e9tait jamais demand\u00e9 avant qu’elle \u00e9tait l’\u00e9longation d’un spaghetto.<\/p>\n\n\n\n

Polym\u00e8re: longue mol\u00e9cule ou Spaghetto dans la soupe\n
\"Rendered<\/p>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
 Autrement dit pourquoi avec un certain nombre de spaghetti, c’est toute l’assiette qui vient quand on plante un coup de fourchette, alors m\u00eame que l’on mange des p\u00e2tes depuis plus de 2000 ans et des spaghetti en Sicile depuis au moins l’an 1150 comme en atteste Al-Idrissi.<\/p>\n\n\n\n
\n
\u00ab\u00a0\u00c0 l’ouest de Termini se trouve la ville de Trabia (<\/em>en arabe Ar-Rabi\u2019at Carr\u00e9), un lieu tr\u00e8s-agr\u00e9able  enchanteur, o\u00f9 coulent des ruisseaux dont les eaux font tourner plusieurs moulins et o\u00f9 sont de vastes habitations dans lesquelles on fabrique une sorte de p\u00e2te courbe filamenteuse <\/em>(en arabe \u00ab\u00a0itryah\u00a0\u00bb qui signifie \u00ab\u00a0pain plat coup\u00e9 en lani\u00e8res\u00a0\u00bb \u00e9tait aussi d\u00e9j\u00e0 mentionn\u00e9 dans le Talmud de Jerusalem publi\u00e9 autour de l’an 350 comme itriya (or itrija) et serait les premi\u00e8res mentions de p\u00e2tes bouillies en soupe. Le terme serait pass\u00e9 par le perse signifiant \u00ab\u00a0shoe laces\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0string in quantities\u00a0\u00bb. Les italiens le traduisent par vermicelle, qui signifie en forme de ver (m\u00eame \u00e9tymologie indo-europ\u00e9enne que serpent), dont il se fait une exportation consid\u00e9rable, soit en Calabre, soit dans les province musulmanes, soit dans les pays chr\u00e9tiens.<\/em>\u00ab\u00a0<\/p>\n\n\n\n
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\"\"<\/figure>\nAl-Idrissi (de son nom complet Abu Abdallah Muhammad Ibn Muhammad Ibn Abdallah Ibn Idriss al-Qurtubi alHassani ( \u0627 \u0639\u0628\u062f \u0627\u0628\u0646 \u0645\u062d\u0645\u062f \u0627\u0628\u0646 \u0645\u062d\u0645\u062f \u0627 \u0639\u0628\u062f \u0623\u0628 \u0627\u0628\u0646 \u0627\u062f\u0631\u064a\u0633 \u0627\u0644\u0642\u0631\u0637\u0628\u064a \u0627\u0644\u062d\u0633\u0646) Sicile, 1150, Le livre de Roger ou La G\u00e9ographie d’al-Idrissi ou Kit\u00e2b Nuzhat al
Musht\u00e2q ou Kit\u00e2b Rudj\u00e2r ou , surtout connu car ce livre contient la premi\u00e8re map-monde publi\u00e9e, o\u00f9 la sicile a d’ailleurs une place pr\u00e9pond\u00e9rante.<\/cite><\/blockquote>\n\n\n\n
Pour simplifier, on pourrait d\u00e9j\u00e0 connaitre l’\u00e9longation d’un spaghetto isol\u00e9 (on pourrait dire un spaghetto dans un bouillon l\u00e0 o\u00f9 Paul Flory parle de polym\u00e8re dans un solvant). <\/p>\n\n\n\n
Pour connaitre son \u00e9longation, il faut connaitre le nombre des configurations d’un spaghetto. En effet, c’est une histoire d’entropie. On observera un spaghetto que dans l’\u00e9longation qui correspond au nombre le plus grand de configuration.<\/p>\n\n\n\n
Quand on regarde un spaghetto cuit il a une forme comme \u00e7a:<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
On ne voit jamais un spaghetto pris au hasard dans un plat, ou une soupe ou quand on le lance tout droit comme ceci:<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Ni tout repli\u00e9 sur lui m\u00eame ainsi: <\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Cela pourrait arriver mais c’est si improbable que \u00e7a n’arrive jamais. On aurait alors des plats de spaghettis qui ressembleraient \u00e0 ceci, et d’ailleurs les assiettes traditionnelles serait trop petites(*). (* la densit\u00e9 des p\u00e2tes probablement inf\u00e9rieur au plat traditionnel pourrait avoir un int\u00e9r\u00eat gastronomique):<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Ou \u00e0 aussi le cas suivant (**): (**Dans ce cas, lorsque l’on prend une fourchette de p\u00e2te, un seul spaghetto vient \u00e0 la fois, il n’y a plus de resistance avec tout le plat qui viendrait d’un coup, on aurait en quelque sorte un plat de spaghetti superfluide):<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Mais \u00e7a n’arrive jamais, car parmi toutes les configurations de spaghettis, il y en a beaucoup plus qui ressemblent \u00e0 ceci:<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
O\u00f9 l’\u00e9longation de chaque spaghetti est proche d’une valeur moyenne, et non pas tous repli\u00e9s sur eux m\u00eame ni touts bien droit le plus allong\u00e9s possible.<\/p>\n\n\n\n
C’est une question d’entropie.<\/p>\n\n\n\n
Il n’y a qu’une configuration o\u00f9 le spaghetto est tout allong\u00e9 tout droit, et il est peu probable (\u00e7a n’arrive jamais) d’observer un spaghetto filer tout droit comme une r\u00e8gle dans son assiette au travers le plat de spaghetti (comme s’il \u00e9tait cru). De m\u00eame il est tout aussi improbable d’observer un spaghetto qui serait tout enroul\u00e9 sur lui m\u00eame pour former une sorte de boule ou de cylindre compact. Par contre il y a plein de configurations o\u00f9 le spaghetti est plus ou moins enroul\u00e9 tournicotant, et c’est ce qu’on voit dans son assiette.<\/p>\n\n\n\n
On appele cela une marche al\u00e9atoire auto-\u00e9vitante. Car le spaghetto peut al\u00e9atoirement tourner vers la droite ou la gauche d\u00e8s que son rayon de courbure le lui permet, et auto-\u00e9vitante car le spaghetto ne peut pas se traverser lui m\u00eame.<\/p>\n\n\n\n
Si on s’autorisait de revenir en arri\u00e8re ou de se traverser, on aurait ce qu’on appelle une marche al\u00e9atoire, ou aussi appel\u00e9 mouvement brownien. Ce mouvement plus simple est bien plus \u00e9tudi\u00e9 et connu. Au bout de n \u00e9tape, l’esp\u00e9rance est toujours d’\u00eatre au point de d\u00e9part, mais l’\u00e9cart type croit comme \"sqrt(n)\" du nombre de croisement sur un r\u00e9seau carr\u00e9. Historiquement c’est Brown et Enstein qui en observant les grains de pollen au microscope percut\u00e9s par des particules al\u00e9atoirement se d\u00e9placent comme une marcheur ivrogne al\u00e9atoirement faisant un pas \u00e0 droite ou \u00e0 gauche. Ce mouvement est plus simple d’une certaine fa\u00e7on car c’est un mouvement markovien, le pas que l’on va faire ne d\u00e9pend que de la position pr\u00e9c\u00e9dente. Alors que si l’on s’interdit de ne pas reculer ou de rebrousse chemin, c’est un mouvement makovien qui d\u00e9pend des 2 positions pr\u00e9c\u00e9dentes. Mais pour la marche auto-\u00e9vitante, cela d\u00e9pend de toute la marche ant\u00e9rieure afin de ne pas s’intersecter.<\/p>\n\n\n\n
Pour une marche auto-\u00e9vitante Hugo a \u00e9tudi\u00e9 le cas sur un r\u00e9seau en nid d’abeille.<\/p>\n\n\n\n
Et voici ce qu’on peut en dire:<\/p>\n\n\n\n
Soit \"c_n\" le nombre de chemins auto-\u00e9vitants de longueur n<\/em> partant d’un point donn\u00e9 du r\u00e9seau. Par exemple en dimension 1, \"c_n=2\" <\/p>\n\n\n\n
Comme un chemin auto-\u00e9vitant de longueur n<\/em> + m<\/em> peut \u00eatre d\u00e9compos\u00e9 en deux chemins auto-\u00e9vitants de longueur n<\/em> et m<\/em>, il s’ensuit que \"c_n + c_m \leq c_n \cdot c_m\"<\/p>\n\n\n\n
On peut appliquer ensuite le lemme sous-additif.<\/p>\n\n\n\n
Lemme sous-additif:\n\nUne suite \"u_n\" est dite sous-additive si \"u_{n+m} \leq u_n + u_m\"\n\nAlors la limite lorsque \"n\" tend vers \"+\infty\" de la suite \"\frac{u_n}{n}\" existe, et\n\n\"\lim_{{n \rightarrow +\infty}} \frac{u_n}{n} = \inf_{{n \geqslant 1}} \frac{u_n}{n} \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\"\n\net est not\u00e9e \"\mu\" avec \"\mu = \frac{u_n}{n} \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\".\n\nCela signifie que \"u_n > n \cdot \mu\".\n\nD\u00e9monstration:\n\nSoient \"q \in \mathbb{N}^*\" et \"n\" un entier v\u00e9rifiant \"n \geqslant q\". La division euclidienne de \"n\" par \"q\" donne \"n = k_nq + r_n\" avec \"k_n \geqslant 1\" et \"0 \leqslant r_n \leqslant q-1\".\n\nPar sous-additivit\u00e9 de \"(u_n)\", on a donc \"u_{n} = u_{(k_n-1)q+q+r_n} \leqslant (k_n-1)u_{q}+u_{q+r_n}\". En divisant cette in\u00e9galit\u00e9 par \"n\", on obtient :\n\n
 (1) <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}<\/p>\n\nPuisque \"0 \leqslant r_n \leqslant q-1\", on a \"\lim_{n\to +\infty} \frac{n-r_n-q}{n} = 1\". \n\nEn prenant la limite sup\u00e9rieure sur \"n\" dans le premier membre et le dernier membre de l'in\u00e9galit\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente, on obtient :\n\n
 (2) <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}<\/p>\n\nPuisque cette derni\u00e8re in\u00e9galit\u00e9 est v\u00e9rifi\u00e9e pour tout entier \"q \geqslant 1\", on en d\u00e9duit :\n\n
 (3) <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}<\/p>\n\n\nCe qui termine la preuve.<\/code><\/pre>\n\n\n\n
En appliquant ce lemme \u00e0 la suite \"(\ln c_n)\", on a que \"\lim_{n \rightarrow +\infty} c_n (\Z^d)^{1/n}\" existe et est appel\u00e9 est appel\u00e9e constante de connectivit\u00e9<\/em> du r\u00e9seau avec \"c_n\geqslant\mu ^n\"<\/p>\n\n\n\n
Pour un r\u00e9seau en forme d’hexagone d’abeille,  Hugo Dimesnil a d\u00e9montr\u00e9 ce que des physiciens avaient devin\u00e9 30 ans plus t\u00f4t que \"c_n = \sqrt{2 + \sqrt{2}}\" et qu’en g\u00e9n\u00e9ral on conjecture que \"\frac{c_{n+1}}{c_n}\rightarrow\mu\" (seule a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e<\/em> la limite \"\frac{c_{n+2}}{c_n}\rightarrow\mu^2\" ).<\/p>\n\n\n\n
Il est de plus conjectur\u00e9 que \"c_n \sim c.\mu^n.n^{\gamma}\" o\u00f9 l’exposant \"\gamma\" est universel (il d\u00e9pend de la dimension, mais pas du r\u00e9seau) et en 2D il est conjectur\u00e9 que \"\gamma = 43/32\" v\u00e9rifi\u00e9 par des simulations jusque n=71. Le n d’un spaghetti correspond au nombre de fois que son rayon de courbure divise sa longueur.<\/p>\n\n\n\n
$\\gamma =1,16… en dimension 3.<\/p>\n\n\n\n
En dimension 4 et plus, il y a tellement de place compar\u00e9 \u00e0 la place (2d) que prend une marche al\u00e9atoire \u00e0 4 dimensions, que les marches al\u00e9atoires sont statistiquement toutes auto-\u00e9vitentes.<\/p>\n\n\n\n
\"\" Inspiration<\/b>
Nous nous sommes inspir\u00e9s du domaine d’excellence de  Hugo Dumesnil Coppin (M\u00e9daille Fields fran\u00e7aise) qu’est la physique statistique pour l’\u00e9tude de transitions de phases. Les mod\u00e8les de percolations pr\u00e9existaient (voir le g\u00e2teau qui imbibe), l’originalit\u00e9 dans l’approche est d’\u00e9tudier des mod\u00e8les ou il n’y a pas d’ind\u00e9pendance: contrairement \u00e0 la marche al\u00e9atoire, la nouille ne peut pas s’intersecter donc l\u00e0 o\u00f9 elle ira plus loin d\u00e9pend de l\u00e0 o\u00f9 elle a \u00e9t\u00e9, tout comme une collection d’aimants peuvent prendre chacun une orientation al\u00e9atoire mais les aimants s’influencent de proche en proche.<\/td>\"\"<\/td><\/tr><\/table><\/div>\n\n\n\n
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\"\" Pour aller plus loin<\/a> avec Hugo<\/b>
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