{"id":3153,"date":"2020-01-04T01:18:07","date_gmt":"2020-01-04T00:18:07","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=3153"},"modified":"2024-08-06T19:15:25","modified_gmt":"2024-08-06T17:15:25","slug":"partage-de-pizza","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2020\/01\/04\/partage-de-pizza\/","title":{"rendered":"Partage de pizza"},"content":{"rendered":"\n

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Larry Carter & Stan Wagon (1994) Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza, Mathematics Magazine, 67:4, 267-267, DOI: 10.1080\/0025570X.1994.11996228<\/p>\n\n\n\n

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Th\u00e9or\u00e8me du sandwich au jambon<\/h2>\n\n\n\n
\"\" Inspiration<\/b>
Podcastscience<\/a>:
\nPlut\u00f4t que de tenter une d\u00e9monstration g\u00e9n\u00e9rale bien trop compliqu\u00e9e, je vais tenter de vous donner une id\u00e9e de d\u00e9monstration pour le sandwich SNCF, autrement dit le sandwich de dimension 2, avec deux ingr\u00e9dients : du pain, et du jambon.\n
\nPrenez une direction de coupe, n\u2019importe laquelle. Il existe n\u00e9cessairement un endroit o\u00f9 on peut couper le pain en deux parties \u00e9gales en suivant cette direction; il suffit pour s\u2019en convaincre de faire passer le couteau au-dessus du pain en le gardant toujours dans la m\u00eame direction. Une fois qu\u2019on a rep\u00e9r\u00e9 cet endroit, de deux choses l\u2019une : soit le jambon est \u00e9galement coup\u00e9 en deux parts \u00e9gales, et on est content, soit ce n\u2019est pas le cas. Alors il y a plus de jambon d\u2019un c\u00f4t\u00e9 du couteau que de l\u2019autre. L\u2019id\u00e9e est de dire que si on tourne progressivement le couteau, en le d\u00e9pla\u00e7ant en m\u00eame temps toujours \u00e0 l\u2019endroit o\u00f9 le pain est coup\u00e9 en deux parties \u00e9gales, la diff\u00e9rence entre les quantit\u00e9s des deux morceaux de jambon obtenus \u00e0 chaque fois va varier de fa\u00e7on continue. Or une fois que l\u2019on a effectu\u00e9 un tour complet, cette diff\u00e9rence est exactement l\u2019oppos\u00e9e de celle observ\u00e9e au d\u00e9but. On est donc pass\u00e9 de plus de jambon d\u2019un c\u00f4t\u00e9 de la lame \u00e0 plus de jambon de l\u2019autre c\u00f4t\u00e9 de la lame. Le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires et le bon sens nous disent donc qu\u2019\u00e0 un moment donn\u00e9, il y avait autant de jambon des deux c\u00f4t\u00e9s\u2026<\/i>\n<\/div>\n\n\n\n
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Un autre partage de pizza<\/h2>\n\n\n\n

Les parts ont toute la m\u00eame forme mais non superposable.<\/p>\n\n\n\n

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Mais il y a mieux.<\/p>\n\n\n\n

Un autre partage de pizza<\/h2>\n\n\n\n

Avantage: <\/p>\n\n\n\n

Toutes les parts ont la m\u00eame forme superposable<\/p>\n\n\n\n

On peut choisir une part avec ou sans croute. Ou bien choisir une d\u00e9coupe o\u00f9 toutes les parts ont autant de croute.<\/p>\n\n\n\n

On d\u00e9coupe 12 parts sans pour autant couper le center 12 fois<\/p>\n\n\n\n

On peut recomposer une jolie forme m\u00eame quand des morceaux ont \u00e9t\u00e9 mang\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

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Pour des parts avec et sans croute, d\u00e9couper d’abord 6 parts avecla m\u00eame courbure que le tour de la pizza.<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Puis d\u00e9couper en deux chaque part ainsi:<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
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Ci-dessous un autre r\u00e9arrangement des m\u00eame parts, mais dont on peut aussi obtenir le d\u00e9coupage d\u00e8s le d\u00e9part ainsi, et dans ce cas chaque part aurait autant de croute.<\/p>\n\n\n\n
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\"Rendered<\/p><div style='border: 2px solid #88AAAA; background: #DDFFFF; padding:8px;' ><img src=\"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2023\/10\/cuisine.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1120\" width=30 \/> <b>Conseil cuisine<\/b><br>\nN\u2019h\u00e9sitez pas \u00e0 utiliser des ciseaux pour d\u00e9couper vos pizzas. C\u2019est la m\u00e9thode pr\u00e9f\u00e9r\u00e9e des Italiens qui vendent d\u2019ailleurs les pizza au kilo. <\/div><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"\" Conseil cuisine<\/b>
\nN\u2019h\u00e9sitez pas \u00e0 utiliser des ciseaux pour d\u00e9couper vos pizzas. C\u2019est la m\u00e9thode pr\u00e9f\u00e9r\u00e9e des Italiens qui vendent d\u2019ailleurs les pizza au kilo. <\/div>\n\n\n\n
\"\" Conseil cuisine<\/b>
\nPour d\u00e9couper le bord de la pizza en 6, on peut soit faire une rosace avec un compas, soit plus simple :
\n–\tMarquez les points d\u2019un diam\u00e8tre.
\n– \tImaginez la perpendiculaire \u00e0 la moiti\u00e9 de la moiti\u00e9 du diam\u00e8tre
\n–\tMarquez le bord atteint et recommencez pour les 3 points restants
\n <\/div>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p>\n\nR\u00e9sultat:\n\n
\"Rendered<\/p>\n\n<\/code><\/pre>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Partage<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":3188,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-3153","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-non-classe"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3153","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3153"}],"version-history":[{"count":20,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3153\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4411,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3153\/revisions\/4411"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/3188"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3153"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3153"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3153"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}