{"id":3573,"date":"2024-02-05T18:14:13","date_gmt":"2024-02-05T17:14:13","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=3573"},"modified":"2024-02-12T15:20:59","modified_gmt":"2024-02-12T14:20:59","slug":"tuile-de-platau","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2024\/02\/05\/tuile-de-platau\/","title":{"rendered":"Tuile de Plateau"},"content":{"rendered":"\n

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A l’encre de seiche, fa\u00e7on maritime comme certains chefs pr\u00e9sentent cette tuile dentelle, mais qui \u00e9voque aussi une mar\u00e9e noire. <\/p>\n\n\n\n

Joseph Plateau (1801-1873), physicien\/math\u00e9maticien belge a d\u00e9crit dans un livre l’arrangement des bulles de savon dans une mousse, analogue \u00e0 celles que l’on trouve en 2 dimensions sur notre po\u00eale. Il a d\u00e9crit les angles form\u00e9s entre les bords de Plateau (p\u00e2te entre les bulles), bien qu’aveugle assist\u00e9 mais assist\u00e9. En effet pour la science, il avait trop intens\u00e9ment observ\u00e9 le soleil pour \u00e9tudier la persistance r\u00e9tinienne si bien qu’il en a perdu la vue. <\/p>\n\n\n\n

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D\u00e9monstration d’angle de 120\u00b0 pour un triangle avec une analogie.<\/p>\n\n\n\n

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%1 analogie physique\n
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%1 analogie physique\n
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%Statique en Minimisation l'\u00e9nergie\n
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%Au minimum d'\u00e9nergie, on est immobile, donc les 3 tensions de m\u00eame norme sont:\n
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Bords de Plateau<\/p>\n\n\n\n
Energie du syst\u00eame = tension superficielle x aire totale<\/p>\n\n\n\n
%Comment relier 4 points par un plus court chemin\n
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%1 croisement\n
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%Pareil mais avec 2 croisements\n
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%2 croisements mieux\n
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%Optimum pour un carr\u00e9\n
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Aire des bulles minimale<\/p>\n\n\n\n
Cas id\u00e9al: bulles identiques et fraction de p\u00e2te n\u00e9gligeable , mousse \u00ab\u00a0s\u00e8che\u00a0\u00bb<\/p>\n\n\n\n
Ar\u00eates ou bords de Plateau<\/p>\n\n\n\n
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Bulles poly\u00e9drique, bulles sph\u00e9riques<\/p>\n\n\n\n
Suivant la fraction de p\u00e2te contenu dans la mousse, on parle de mousse s\u00e8che<\/em> comme ci-dessous au milieu, ou de mousse humide<\/em> plus \u00e0 gauche dans lesquelles les bulles sont rondes. Ici les bulles de vapeur ont disparu et il ne reste que les bords.<\/p>\n\n\n\n
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Si trois portions se rencontrent le long d’une ar\u00eate, appel\u00e9e \u00ab bord de Plateau \u00bb, alors l’angle di\u00e8dre entre deux portions vaut arccos \u2061 ( \u2212 1 \/ 2 ) = 120 {\\displaystyle \\arccos {(-1\/2)}=120}\u00b0 ;<\/p>\n\n\n\n
Les configurations qui ne respectent pas les conditions de Plateau existent, mais sont instables<\/p>\n\n\n\n
D\u2019apr\u00e8s la formule pr\u00e9c\u00e9dente, nous pouvons \u00e9tablir que :<\/p>\n\n\n\n