{"id":3703,"date":"2024-02-26T23:36:33","date_gmt":"2024-02-26T22:36:33","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=3703"},"modified":"2024-03-11T23:00:23","modified_gmt":"2024-03-11T22:00:23","slug":"non-linearite-de-lexponentielle-gateau-dichromatique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2024\/02\/26\/non-linearite-de-lexponentielle-gateau-dichromatique\/","title":{"rendered":"Non lin\u00e9arit\u00e9 de l’exponentielle => g\u00e2teau dichromatique"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n
\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n
\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

La non lin\u00e9arit\u00e9 de l’exponentielle donne un g\u00e2teau dichromatique aux graines de citrouille. Soit rouge, soit vert, suivant l’\u00e9paisseur ! Les progressions g\u00e9om\u00e9trique et arithm\u00e9tique sont li\u00e9es et explique que la couleur vert ou rouge d\u00e9pend de l’\u00e9paisseur de la tranche de cake.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
La couche d’huile absorbe une fraction de la lumi\u00e8re qui arrive, disons 30%. La lumi\u00e8re transmise est donc plus faible.<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
Si on a une couche d’huile deux fois plus \u00e9paisse, elle va absorber deux fois plus de lumi\u00e8re. L’absorbance<\/em><\/strong> est doubl\u00e9e. La lumi\u00e8re qui est transmise<\/em><\/strong>  au bout est ce qui reste.<\/p>\n\n\n\n
L’absorbance suit une progression arithm\u00e9tique.<\/p>\n\n\n\n
La transmittance suit une progression g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p>\n<\/code><\/pre>\n\n\n\n
D’o\u00f9<\/p>\n\n\n\n
\"T = 10^{-A}\"<\/p>\n\n\n\n
ou par un calcul infinit\u00e9simal, avec k une constante de proportionnalit\u00e9:<\/p>\n\n\n\n
\"\frac{dI}{dl} = -kI\" puis en int\u00e9grant sur le chemin de longueur l, avec \"I_0\" l’onde incidente: \"\int_{I_0}^{I} \frac{dI}{I} = -k \int_{0}^{l} dl\"<\/p>\n\n\n\n
\"\ln\left(\frac{I}{I_0}\right) = -kl\" ou encore \"\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) = -k'l\" soit \"\log_{10}(T) \propto -l\"<\/p>\n\n\n\n
et l’Absorbance d\u00e9finie par \"<code>A=-\log_{10}(T)</code>\"<\/p>\n\n\n\n
Donc sachant que l’huile absorbe dans le bleu et un peu le jaune, la courbe d’absorbance est la suivante:<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
D’o\u00f9 la courbe de Transmittance (\"T = 10^{-A}\"):<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Pour une \u00e9paisseur d’huile plus grande, la non lin\u00e9arit\u00e9 de l’exponentielle \u00e9crase toutes les valeurs faibles:<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Par ailleurs, nos yeux ont des cellules sensibles \u00e0 chacune des 3 couleurs, bleu, vert, jaune. On ne s’interesse qu’au vert et au jaune ainsi:<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
La plage de sensibilit\u00e9 des cellules r\u00e9pondant au jeune et au vert se chevauchent, donc par un traitement des neurones , le cerveau peut faire la diff\u00e9rence entre les deux signaux arrivant des capteurs vert eu jaune, et distinguer lorsqu’il per\u00e7oit qu’avec les recepteur vert, \u00e0 la fois avec le vert et le jaune ou que avec le jaune, ainsi:<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
Il ne reste plus qu’\u00e0 multiplier les courbes de la lumi\u00e8re transmise et la courbe des capteurs pour connaitre les couleurs per\u00e7ues, et regarder l’aire sous les courbes.<\/p>\n\n\n\n
En cas d’\u00e9paisseur fine, le vert est pr\u00e9pond\u00e9rant compar\u00e9 au rouge:<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
En cas d’\u00e9paisseur forte, c’est plus sombre, mais le rouge est pr\u00e9pond\u00e9rant compar\u00e9 au vert:<\/p>\n\n\n\n
\"Rendered<\/p><\/code><\/pre>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Couleur verte dans le goulot plus fin qui le correspond pas \u00e0 du rouge \u00e9clairci.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Astuce: M\u00e9langez un peu d’huile de citrouille avec de l’huile incolore type huile de tournesol pour \u00e9claircir l’huile.<\/p>\n\n\n\n
Laisser tomber quelques gouttes d’huile dans un bol d’eau. Les gouttes d’huile \u00e9paisses sont rouge, celles fines \u00e9clat\u00e9es \u00e0 la surface sont jaune\/vert.<\/p>\n\n\n\n