{"id":4034,"date":"2024-05-25T23:07:24","date_gmt":"2024-05-25T21:07:24","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=4034"},"modified":"2024-07-17T00:49:08","modified_gmt":"2024-07-16T22:49:08","slug":"aire-a-velo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2024\/05\/25\/aire-a-velo\/","title":{"rendered":"Aire \u00e0 v\u00e9lo"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Voici un v\u00e9lo.<\/p>\n\n\n\n

Il fait le tour de la maison et revient au point de d\u00e9part.<\/p>\n\n\n\n

Le soleil est au z\u00e9nith. Quelle est l’aire balay\u00e9e par l’ombre sous le v\u00e9lo ?<\/p>\n\n\n\n

On consid\u00e8re que la roue avant ne croise jamais l’axe de la roue arri\u00e8re. La distance entre les 2 roues du v\u00e9lo est appel\u00e9e R.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

L’aire est le m\u00eame que ce v\u00e9lo fasse le tour d’une maison ou de la ville toute enti\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

C’est la m\u00eame aire que si le v\u00e9lo reste sur place sans bouger la roue arri\u00e8re et fait un tour sur lui m\u00eame. C’est la surface de ce g\u00e2teau. Pi.R^2.<\/p>\n\n\n\n

La roue arri\u00e8re est tangente au bord int\u00e9rieur de l’ombre. Au cours d’un petit d\u00e9placement, le segment du cadre du v\u00e9lo se d\u00e9place sur un triangle d’aire r.dtheta. Seule la contribution du d\u00e9placement perpendiculaire au cadre compte. La contribution du d\u00e9placement dans l’axe du cadre ne contribue pas \u00e0 l’aire de l’ombre balay\u00e9e. Au bout d’un tour, l’angle a fait 360\u00b0. L’aire balay\u00e9e est donc pi.R^2. <\/p>\n\n\n\n

Autrement dit si on supprime la composante axiale du cadre de la vitesse, le v\u00e9lo ne fait que parcourir en rond le disque de rayon R.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

Cyclo\u00efde<\/h2>\n\n\n\n

Toujours sur notre v\u00e9lo, suivons \u00e0 pr\u00e9sent le trajet de la valve de la roue lorsque le v\u00e9lo avance d’un tour de roue. Cette courbe est appel\u00e9e cyclo\u00efde et l’on cherche l’aire sous cette courbe, en rose.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Screenshot<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Le rectangle bleu a pour hauteur 2.R et pour longueur le p\u00e9rim\u00e8tre de la roue: 2.pi.R. Donc la surface du rectangle est 4.pi.R^2, soit 4 fois la surface de la roue (pi.R^2).<\/p>\n\n\n\n

Cherchons \u00e0 pr\u00e9sent l’aire bleu au dessus de la cyclo\u00efde.<\/p>\n\n\n\n

Int\u00e9ressons nous au segment [VC]. <\/p>\n\n\n\n

S est le point de contact avec le sol. V la valve. A chaque instant la roue tourne autour de S. Donc V de d\u00e9place perpendiculairement \u00e0 VS puisque V \u00e0 tendance \u00e0 tourner en rond autour de S. Donc VS est perpendiculaire \u00e0 la tangente \u00e0 la cyclo\u00efde en V. Comme on a un angle droit en V avec la tangente, la tangente coupe donc le cercle au point diam\u00e9tralement oppos\u00e9 \u00e0 S tout en haut: C.<\/p>\n\n\n\n

Que parcourt le segment [VC] au cours du mouvement ? [VC] se d\u00e9place selon son axe et tourne de 180\u00b0 en parcourant un disque. L’aire balay\u00e9e par [VC] est donc la surface de la roue, et c’esr l’aire bleue. <\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

On soustrayant d’aire bleu \u00e0 celle du rectangle on a donc que l’aire ros est de 3 roues: 3.pi.R^2<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Voici un v\u00e9lo. Il fait le tour de la maison et revient au point de d\u00e9part. Le soleil est au z\u00e9nith. Quelle est l’aire balay\u00e9e par l’ombre sous le v\u00e9lo ? On consid\u00e8re que la roue avant ne croise jamais l’axe de la roue arri\u00e8re. La distance entre les 2 roues du v\u00e9lo est appel\u00e9e […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":4043,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-4034","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-non-classe"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4034","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4034"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4034\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4391,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4034\/revisions\/4391"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/4043"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4034"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4034"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4034"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}