{"id":4092,"date":"2024-07-04T09:53:33","date_gmt":"2024-07-04T07:53:33","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=4092"},"modified":"2024-07-18T08:28:23","modified_gmt":"2024-07-18T06:28:23","slug":"theorie-des-distibutions","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2024\/07\/04\/theorie-des-distibutions\/","title":{"rendered":"Th\u00e9orie des distributions"},"content":{"rendered":"\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large is-resized\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"1024\" height=\"549\" src=\"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/quatre-quarts-1024x549.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4314\" style=\"width:648px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/quatre-quarts-1024x549.jpg 1024w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/quatre-quarts-300x161.jpg 300w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/quatre-quarts-768x412.jpg 768w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/quatre-quarts-1536x823.jpg 1536w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/quatre-quarts-2048x1098.jpg 2048w\" sizes=\"auto, (max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-group is-nowrap is-layout-flex wp-container-core-group-is-layout-930d3512 wp-block-group-is-layout-flex\">\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comment d\u00e9river une fonction continue par morceau (qui n&rsquo;est donc pas d\u00e9rivable)?<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut projeter la fonction non d\u00e9rivable sur des fonctions d\u00e9rivables et travailler sur cette projection. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment sur ces projections car on peur projeter sur un ensemble de fonctions C-infini qui prend pour valeur zero aux bornes de l&rsquo;ensemble d&rsquo;\u00e9tude. exemple d&rsquo;une telle fonction : exp(1\/(x-a)(x-b))<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\"><p class=\"ql-center-displayed-equation\" style=\"line-height: 44px;\"><span class=\"ql-right-eqno\"> &nbsp; <\/span><span class=\"ql-left-eqno\"> &nbsp; <\/span><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2dc6233128ac5de31090ca15c30eaa3e_l3.png\" height=\"44\" width=\"548\" class=\"ql-img-displayed-equation \" alt=\"&#92;&#91;&#92;&#105;&#110;&#116;&#95;&#123;&#45;&#92;&#105;&#110;&#102;&#116;&#121;&#125;&#94;&#123;&#98;&#125;&#32;&#92;&#100;&#101;&#108;&#116;&#97;&#40;&#120;&#41;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#40;&#120;&#41;&#32;&#92;&#44;&#32;&#100;&#120;&#32;&#61;&#32;&#92;&#108;&#101;&#102;&#116;&#91;&#32;&#102;&#40;&#120;&#41;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#40;&#120;&#41;&#32;&#92;&#114;&#105;&#103;&#104;&#116;&#93;&#60;&#101;&#109;&#62;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#98;&#125;&#32;&#45;&#32;&#92;&#105;&#110;&#116;&#60;&#47;&#101;&#109;&#62;&#123;&#97;&#125;&#94;&#123;&#98;&#125;&#32;&#102;&#40;&#120;&#41;&#32;&#92;&#112;&#104;&#105;&#39;&#40;&#120;&#41;&#32;&#92;&#44;&#32;&#100;&#120;&#92;&#93;\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\"\/><\/p><\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"[GS#1] Th\u00e9orie des distributions - Une introduction\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/3QHLNtKlypo?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On dit qu&rsquo;on fait le produit scalaire int\u00e9gral(f.phy).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On arrive ainsi a avoir les informations sur la d\u00e9riv\u00e9e de la fonction, dans un sens plus g\u00e9n\u00e9ral. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ainsi la d\u00e9riv\u00e9e d&rsquo;un \u00e9chelon qui est une fonction continue par morceau non d\u00e9rivable a pour d\u00e9riv\u00e9 un pic de Dirac not\u00e9 delta. La d\u00e9riv\u00e9e seconde de Abs(x) = 2\u2202<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-4-3 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"Distributions Maths exercices corrig\u00e9s\" width=\"500\" height=\"375\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/P9ftIKwbNP8?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Une fonction continue par morceau a pour d\u00e9riv\u00e9 la hauteur du saut aux points de discontinuit\u00e9.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Voyons une analogie avec un cake convexe en 3D. On ne sait pas bien d\u00e9crire sa forme, mais on veut en connaitre sa surface pour pr\u00e9parer un gla\u00e7age.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Mais on peut projeter notre g\u00e2teau dans diff\u00e9rentes directions. Travailler sur ces projections plates en 2D et mesurant leur surface. Et avoir finalement les informations voulues sur le g\u00e2teau qui a une surface \u00e9gale \u00e0 4 fois la moyenne des surfaces des projections.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">(demo ci dessous en video).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-embed is-type-video is-provider-youtube wp-block-embed-youtube wp-embed-aspect-16-9 wp-has-aspect-ratio\"><div class=\"wp-block-embed__wrapper\">\n<iframe loading=\"lazy\" title=\"A tale of two problem solvers (Average cube shadows)\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ltLUadnCyi0?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Voici comment je pensais faire passer l\u2019id\u00e9e des distributions de Schwartz avec un g\u00e2teau pour un go\u00fbter&#8230; Ca tient un peu la route ?<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u2014<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Quand on pr\u00e9pare un g\u00e2teau comme un quatre-quart, (comme celui-ci), le g\u00e2teau gonfle toujours \u00e0 la cuisson, c\u2019est \u00e0 dire que le haut est bomb\u00e9. En g\u00e9n\u00e9ral avant de pr\u00e9parer une jolie d\u00e9coration comme un gla\u00e7age, on d\u00e9coupe le haut pour le faire bien plat.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Aujourd\u2019hui on va justement s\u2019int\u00e9resser \u00e0 un g\u00e2teau en 3D qui a une forme comme celui-ci, c\u2019est-\u00e0-dire avec des endroits qui peuvent \u00eatre plats, ou d\u2019autres arrondis un peu n\u2019importe comment (enfin en restant convexe pour \u00eatre plus simple).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Le probl\u00e8me est qu\u2019on veut pr\u00e9parer un gla\u00e7age et on veut pour cela connaitre la surface de ce g\u00e2teau pr\u00e9cis\u00e9ment.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Une solution amusante est de projeter l\u2019ombre du g\u00e2teau avec une lumi\u00e8re selon toutes les orientations possibles, et de mesurer l\u2019aire de l\u2019ombre \u00e0 chaque fois. Puis de prendre la moyenne des ombres. En quadruplant cette valeur, on obtiendra la surface du g\u00e2teau qui nous \u00e9tait inaccessible.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Remarque: Pour mesurer l\u2019aide de l\u2019ombre, il suffit de prendre une feuille \u00e0 petits carreaux et de compter les carreaux dans l\u2019ombre.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">[ La d\u00e9monstration que l\u2019aire est le quadruple de celle projet\u00e9e est simple et accessible dans la video suivante: https:\/\/youtu.be\/ltLUadnCyi0<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette d\u00e9monstration repose sur les id\u00e9es suivantes:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Tout est proportionnel dans l&rsquo;exp\u00e9rience. C&rsquo;est-\u00e0-dire que si on prend un g\u00e2teau 2 fois plus grand en surface, les ombres projet\u00e9es seront 2 fois plus grandes par exemple.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La projection c&rsquo;est un produit scalaire, c&rsquo;est lin\u00e9aire et ne d\u00e9pendra pas de la forme projet\u00e9e: la surface de l&rsquo;ombre et la surface du g\u00e2teau sont proportionnels et la moyenne selon toutes les inclinaisons ne d\u00e9pend pas de la forme.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Une sph\u00e8re d&rsquo;aire 4.pi.r^2 a une ombre de pi.r^2 soit 4 fois plus grande.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">D&rsquo;o\u00f9 le r\u00e9sultat. ]<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On \u00e9tait incapable de mesurer la surface du g\u00e2teau au d\u00e9part ni avec des formules car ce n&rsquo;est ni une sph\u00e8re ni un cube, ni avec une feuille \u00e0 petit carreaux qui se serait d\u00e9chir\u00e9e en l&rsquo;appliquant sur le g\u00e2teau, mais on a \u00e9t\u00e9 capable \u00e0 l&rsquo;aide de mesure de l&rsquo;ombre obtenu par un produit scalaire qui est la projection en 2D, d&rsquo;avoir l&rsquo;information qu&rsquo;on voulait sur le g\u00e2teau \u00e0 savoir sa surface.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut faire \u00e0 peu pr\u00e8s la m\u00eame chose avec des fonctions non d\u00e9rivables qu&rsquo;on voudrait g\u00e9n\u00e9raliser pour pouvoir en calculer une d\u00e9riv\u00e9e. C&rsquo;est ce qu&rsquo;a fait Laurent Schwartz. Admettons qu&rsquo;il existe un objet qui est une g\u00e9n\u00e9ralisation de fonction qui corresponde \u00e0 notre fonction non d\u00e9rivable mais qu&rsquo;on veut d\u00e9river. C&rsquo;est comme notre g\u00e2teau en 3D mais qui nous est pas bien accessible car c&rsquo;est pas facile d&rsquo;avoir son aire.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Comme on l projette le g\u00e2teau avec une ampoule pour en avoir son ombre et faire une sorte de produit scalaire, on prend le produit scalaire de la d\u00e9riv\u00e9e de notre fonction g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e en calculant l&rsquo;int\u00e9grale du produit de la fonction f&rsquo; avec une autre fonction bien choisie (qui permet de tester et mesurer c&rsquo;est-\u00e0-dire infiniment d\u00e9rivable et qui s&rsquo;annule aux bornes de l&rsquo;interval consid\u00e9r\u00e9). <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\\int f'(x) \\cdot g(x) \\, dx qu&rsquo;on peut noter &lt;f&rsquo;|g&gt;<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ensuite on peut poursuivre les calculs (qui consistent juste \u00e0 faire une int\u00e9gration par partie et qui permet d&rsquo;obtenir que &lt;f&rsquo;|g&gt; = -&lt;g&rsquo;|f&gt;). Et on obtient ainsi les propri\u00e9t\u00e9s sur la d\u00e9riv\u00e9e de notre objet qu&rsquo;on appelle alors une distribution qui est la g\u00e9n\u00e9ralisation de la fonction non d\u00e9rivable.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si on prend comme fonction \u00e0 d\u00e9river la fonction en marche d&rsquo;escalier de Heavyside prenant pour valeur 0 pour x&lt;0 et 1 pour x&gt;0, la d\u00e9riv\u00e9e de sa fonction g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e correspondante sera un pic de dirac, c&rsquo;est \u00e0 dire la fonction g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e qui vaut 0 pour tout x, et +oo en 0, et on pourra dire que l&rsquo;int\u00e9grale de cette d\u00e9riv\u00e9e vaut 1 autour de 0. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Remarque: On ne pourrait rien faire si l&rsquo;on avait sous la main que la notion de simple fonction, et d\u00e9j\u00e0 un pic de Dirac, \u00e7a n&rsquo;a pas de sens en terme de simple fonction car sa valeur +oo en 0 n&rsquo;aurait pas de sens. La th\u00e9orie des distribution en donne un sens avec une g\u00e9n\u00e9ralisation de fonction, et permet m\u00eame les calculs. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En effet, comme cela repose sur un produit scalaire avec une somme (une int\u00e9grale) lin\u00e9aire, cette m\u00e9thode va justement bien se combiner avec les transformations de Fourrier que l&rsquo;on connait pour passer en mode spectral et que l&rsquo;on peut \u00e9crire aussi comme  une somme\/int\u00e9grale \\int f(t) \\, e^{-i \\omega t} \\, dt . Cette g\u00e9n\u00e9ralisation de fonction sera bien employable et utile dans les calculs pour les physiciens, et les \u00e9quations diff\u00e9rentielles.. <\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Cette th\u00e9orie des distributions permet de faire des calculs en m\u00e9langeant des \u00e9chelles de temps tr\u00e8s diff\u00e9rent: En vrai quand on allume le courant, la tension n&rsquo;augmente pas d&rsquo;un coup \u00e0 1 comme la fonction de Heavyside, mais si on regarde de loin c&rsquo;est ce qu&rsquo;on voit et la lumi\u00e8re semble s&rsquo;allumer instantan\u00e9ment.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">On peut avoir des infos pertinentes sur un objet en travaillant sur la mesures de ses projections qui est elle accessible.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"818\" height=\"1024\" src=\"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/output2-rectangle-818x1024.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-4318\" srcset=\"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/output2-rectangle-818x1024.jpg 818w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/output2-rectangle-240x300.jpg 240w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/output2-rectangle-768x961.jpg 768w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/output2-rectangle-1227x1536.jpg 1227w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/output2-rectangle-1637x2048.jpg 1637w, https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/output2-rectangle-scaled.jpg 2046w\" sizes=\"auto, (max-width: 818px) 100vw, 818px\" \/><\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Laurent-Mo\u00efse Schwartz<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":4315,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-4092","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-non-classe"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4092","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4092"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4092\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4319,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4092\/revisions\/4319"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/4315"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4092"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4092"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4092"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}