{"id":4688,"date":"2024-11-28T20:30:13","date_gmt":"2024-11-28T19:30:13","guid":{"rendered":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/?p=4688"},"modified":"2024-12-08T11:10:50","modified_gmt":"2024-12-08T10:10:50","slug":"tore-plat-plonge-en-3d","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/2024\/11\/28\/tore-plat-plonge-en-3d\/","title":{"rendered":"Tore plat plong\u00e9 en 3d"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

C\u2019est quoi un tore plat ?<\/strong><\/h4>\n\n\n\n

Un tore<\/strong> est une surface ressemblant \u00e0 une bou\u00e9e de sauvetage, mais un tore plat<\/strong> est un objet math\u00e9matique abstrait. On peut le comprendre ainsi :<\/p>\n\n\n\n

    \n
  • Imagine un carr\u00e9 ([0,1]\u00d7[0,1][0,1] \\times [0,1][0,1]\u00d7[0,1]).<\/li>\n\n\n\n
  • Colle les bords oppos\u00e9s<\/strong> : les c\u00f4t\u00e9s gauche et droit, et les c\u00f4t\u00e9s haut et bas.
    Cela donne une surface o\u00f9 :<\/li>\n\n\n\n
  • Si tu sors par un bord, tu r\u00e9apparais de l’autre c\u00f4t\u00e9, comme dans certains jeux vid\u00e9o.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

    Formellement, un tore plat est d\u00e9fini comme l\u2019espace quotient :T2=R2\/Z2,\\mathbb{T}^2 = \\mathbb{R}^2 \/ \\mathbb{Z}^2,T2=R2\/Z2,<\/p>\n\n\n\n

    o\u00f9 on identifie les points (x,y)(x, y)(x,y) et (x+m,y+n)(x + m, y + n)(x+m,y+n) pour tous m,n\u2208Zm, n \\in \\mathbb{Z}m,n\u2208Z.<\/p>\n\n\n\n

    2. Pourquoi ne peut-on pas plier un tore plat en 3D directement ?<\/strong><\/h4>\n\n\n\n

    Un tore plat<\/strong> est math\u00e9matiquement \u00ab\u00a0plat\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire qu’il a une courbure nulle partout<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

      \n
    • Mais dans notre monde en 3D, les tores visibles (comme une bou\u00e9e) ne sont pas plats<\/strong> : ils sont courb\u00e9s (comme une montagne ou une vall\u00e9e).<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

      Sans avoir besoin de comprendre la notion de courbure, imaginons un tore plat sur une feuille de papier ou un \u00e9cran de jeu video. Ok. mais si on veut replier la feuiller sans faire de pli pour rapprocher les bouts et rejoindre les points qui se correspondent sur les bords. On forme un cylindre pour rapprocher un bord de l’autre bord oppos\u00e9. Mais impossible de rapprocher le deuxi\u00e8me couple de bords sans faire des plis marqu\u00e9s qui formeraient une discontinuit\u00e9 dans la d\u00e9riv\u00e9 de la surface.<\/p>\n\n\n\n

      <\/p>\n\n\n\n

      <\/p>\n\n\n\n

      La grande difficult\u00e9 est donc que plonger un tore plat dans l\u2019espace 3D<\/strong> tout en respectant sa platitude est tr\u00e8s compliqu\u00e9. Intuitivement :<\/p>\n\n\n\n

        \n
      • Pour qu\u2019un objet plat soit en 3D, il doit se plier, et cela cr\u00e9e de la courbure, ce qui est incompatible avec une courbure nulle.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

        C\u2019est pourquoi pendant longtemps, on pensait qu\u2019un tore plat ne pouvait pas \u00eatre r\u00e9alis\u00e9<\/strong> sans faire des plis ou des cassures.<\/p>\n\n\n\n

        <\/p>\n\n\n\n

        <\/p>\n\n\n\n

        En 2012, deux math\u00e9maticiens fran\u00e7ais, Vincent Borrelli<\/strong> et son \u00e9quipe, ont montr\u00e9 que c\u2019est possible<\/strong> de plonger un tore plat dans l\u2019espace 3D, mais d\u2019une mani\u00e8re tr\u00e8s particuli\u00e8re.<\/p>\n\n\n\n

          \n
        • Ils ont utilis\u00e9 une id\u00e9e appel\u00e9e un plongement de Nash-Kuiper<\/strong>, bas\u00e9e sur un th\u00e9or\u00e8me c\u00e9l\u00e8bre.<\/li>\n\n\n\n
        • Ce th\u00e9or\u00e8me dit qu\u2019une surface avec une g\u00e9om\u00e9trie donn\u00e9e peut \u00eatre plong\u00e9e dans un espace de dimension sup\u00e9rieure, m\u00eame si \u00e7a semble impossible intuitivement, \u00e0 condition d\u2019accepter des ondulations infiniment petites<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

          Pour r\u00e9aliser ce plongement, ils ont produit un tore avec des ondulations tr\u00e8s fines<\/strong>, tellement fines qu\u2019elles ressemblent \u00e0 une fractale.<\/p>\n\n\n\n

          <\/p>\n\n\n\n

          Le r\u00e9sultat de l\u2019\u00e9quipe fran\u00e7aise est fascinant, car le tore plat qu\u2019ils ont construit a des propri\u00e9t\u00e9s qui le rapprochent des fractales<\/strong> :<\/p>\n\n\n\n

            \n
          • Une fractale est un objet math\u00e9matique qui a des d\u00e9tails \u00e0 toutes les \u00e9chelles<\/strong>. Si tu zoomes, tu continues de voir des motifs, quel que soit le niveau de grossissement.<\/li>\n\n\n\n
          • Le tore plat plong\u00e9 a une structure lisse mais ondul\u00e9e \u00e0 l\u2019infini. Ces ondulations deviennent de plus en plus petites et rapproch\u00e9es, formant une sorte de fractale lisse<\/strong>, sans cassures.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n

            <\/p>\n\n\n\n

            les ordinateurs ont jou\u00e9 un r\u00f4le essentiel dans la visualisation du tore plat plong\u00e9 en 3D<\/strong> par l’\u00e9quipe de Vincent Borrelli<\/strong> et ses collaborateurs en 2012.<\/p>\n\n\n\n

            Les \u00e9quations qui d\u00e9crivent ces ondulations sont extr\u00eamement complexes. Les chercheurs doivent r\u00e9soudre des syst\u00e8mes d’\u00e9quations impliquant la g\u00e9om\u00e9trie de la surface et les contraintes de courbure. Une fois les calculs effectu\u00e9s, il faut transformer ces donn\u00e9es math\u00e9matiques en images pour que les humains puissent les comprendre et analyser. L’\u00e9quipe a utilis\u00e9 des ordinateurs pour approximer les ondulations de la surface. M\u00eame si elles sont infinies th\u00e9oriquement, on peut en calculer une version simplifi\u00e9e avec un grand nombre d’ondulations visibles. Ils ont produit une image appel\u00e9e \u00ab\u00a0Tore de Nash\u00a0\u00bb<\/strong>, qui montre un tore plat plong\u00e9 dans l’espace 3D. Ce tore ressemble \u00e0 une bou\u00e9e (le tore classique), mais avec des ondulations r\u00e9guli\u00e8res et fines. Ces ondulations sont l’astuce qui permet au tore de conserver une courbure nulle tout en \u00e9tant plong\u00e9 dans l’espace.<\/p>\n\n\n\n

            <\/p>\n\n\n\n

            Cuisiner un tore plat c’est donc impossible avec son infinit\u00e9 d’ondulation, alors on va se contenter d’un tore plat frip\u00e9 en 3D. C’est \u00e0 dire qu’il a des plis. Autrement dit que la surface n’est pas infiniment lisse.<\/p>\n\n\n\n

            <\/p>\n\n\n\n

            pour aller plus loin: documentaire.<\/p>\n\n\n\n

            Recette<\/p>\n\n\n\n

            \"\"<\/figure>\n\n\n\n
            \"\"<\/figure>\n\n\n\n
            \"\"<\/figure>\n\n\n\n
            \"\"<\/figure>\n\n\n\n
            \"\"<\/figure>\n\n\n\n
            \"\"<\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

            C\u2019est quoi un tore plat ? Un tore est une surface ressemblant \u00e0 une bou\u00e9e de sauvetage, mais un tore plat est un objet math\u00e9matique abstrait. On peut le comprendre ainsi : Formellement, un tore plat est d\u00e9fini comme l\u2019espace quotient :T2=R2\/Z2,\\mathbb{T}^2 = \\mathbb{R}^2 \/ \\mathbb{Z}^2,T2=R2\/Z2, o\u00f9 on identifie les points (x,y)(x, y)(x,y) et (x+m,y+n)(x […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-4688","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-non-classe"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4688","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4688"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4688\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4756,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/4688\/revisions\/4756"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4688"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=4688"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/eva.louis-le-grand.net\/maths\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=4688"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}