Origami vient du japonais 折 紙 , de oru 折 , « plier », et kami 紙, « papier ». Mais l’origine des premiers modèles de pliage pourrait ne pas être japonais. On retrouve un motif primordial sur chaque contienent: la cocote, la grue, la tortue, en Europe, Chine et Japon. Mais associez chacun de ces 3 modèles primordiaux à son pays d’origine.
La cocotte européenne:
La grue japonaise:
Pentagone
On obtient un pentagone en faisant un noeud avec une bande de feuille de Nori. Si on pase plusieurs fois dans la boucle, on obtient des heptagone, nonangone etc. On peut aussi relier les heptagones pour former un dodécaèdre à 12 faces pentagonales.
Le cube
Obtenu à partir du module de Mitsunobu Sonobe 1968.
En 3D:
Quand on coupe le cube en deux morceaux identiques pour présenter l’onigri, on obtient deux hexagones:
Onigiri cubique-hexagonal au saumon
en 3d:
Ici façon Onigiri avec thon:
Le triakioctaèdre
12 modules de Sonobe, 24 faces, 36 arêtes, 14 cotés.
En 3d:
Il peut être vu comme un octaèdre auquel on a ajouté des pyramides triangulaires sur chaque face.
En 3d:
Problème et démonstration
Problème du rouble plié de Vladimir Igorevich Arnold:
Conjecture: En pliant un origami à plat, on obtient toujours un origami de périmètre diminué. Un russe constatant l’inflation sans fin, les billet de banque en rouble diminuait de valeur, se demandait si il y avait un théorème qui prouve que le billet plié sera toujours de plus petit périmètre.
Lemme: Si je plie un polygone, le périmètre diminue
Démonstration:
Le périmètre a été allongé du segment vert et raccourci de la ligne brisée rouge plus longue. Donc le périmètre de notre polygone plié est donc bien plus petit.
Ensuite, par récurrence: Je pars d’un polygone, je plie, j’ai un polygone donc de périmètre plus petit. Et ainsi de suite.
Sauf que non, car on est pas obligé de plier sur toutes les épaisseurs sur une ligne droite. On est allé trop vite dans la démonstration au moment de la récurence. Le lemme est bien juste.
Contre exemple:
Ce pliage est plus long que le carré de départ, une pointe a été sortie du milieu.
InspirationConférence origami:
Conseil cuisinePour réaliser la tortue et l’oiseau Grue avec une feuille de Nori, humidifier la feuille d’abord avec 3 gouttes d’eau pour la ramollir. Pour les autres pliages ce n’est pas la peine normalement.
Une fois le pliage fini, passer l’origami au micro-onde pour le sécher et le rendre croquant. Environ 30s par feuille. Ce ne sera plus possible de le plier ensuite.
Pour découper le cube suivant un hexagone, utiliser des ciseaux puis farcir chaque moitié.
Connaissez-vous le nom d’un théorème d’un mathématicien non occidental ? (hors Europe, Etats-Unis, Inde, Russie, Arabe)
Soit une feuille pliée (froissée) dépliée.
Exemple de feuille avec pliage marqué en blanc:
Ce dessin de pli pose problème, car à chaque noeud il doit y avoir un nombre pair de plis.
Théorème de Kawasaki
Autour de chaque point d’un pliage sur une feuille, la somme des angles pairs moins la somme des angles impairs égal zéro. (nécessaire et suffisant localement seulement)
Démonstration:
Je plie en 4 de manière tordue et voilà.Non suffisant local, en effet on a le contre-exemple suivant impliable qui vérifie pourtant en chaque point Kawasaki:
Le problème de trouver un critère suffisant global est un problème ouvert à 1 million de dollars.
Théorème de Maekawa
Autour de chaque point, la différence entre le nombre de plis montagne et de plis vallées est 2.
Démonstration:
La somme des angles d'un polygonne à n cotés est (n-2)x180°
Je prends mon coin, je découpe la pointe d'un trait, j'obtiens un polygone applati, mais c'est un polygonne quand même qui a n plis dont M plis vallées et M plis montagne.
Les montagnes c'est 0°. Les vallées c'est 360°. On utilise le lemme. (M+V-2)x180=Mx0+Vx360
Donc |M-V|=2
https://www.youtube.com/watch?v=6RV92MalfpQ à 49 minutes...